Азарян начал заниматься гимнастикой в 17 лет, стал трёхкратным Олимпийским чемпионом, четырёхкратным чемпионом мира, двукратным чемпионом Европы, одиннадцатикратным чемпионом СССР. Азарян был сильнейшим гимнастом своего времени в упражнениях на кольцах. Комбинация «Крест», которую выполнял Азарян, получила название «Крест Азаряна».