Перов

Квадратные уравнения появились еще в древнем Египте и Индии. Существовало много способов их решения, первые из которых были в древнем Вавилоне. Но сегодня мы затронем только один способ решения уравнений, который используется и по сей день. Уже с 19 века пользуются некоторой величиной для решения квадратных уравнений вида где x — переменная; a, b и c – некоторые коэффициенты. Эта некоторая величина называется — дискриминант. Немецкий математик Гаусс выделил его отдельной формулой в 19 веке, а термин «дискриминант» ввёл британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр в 1851 году.  И дал он следующее определение дискриминанта: Дискриминант однородной формы (многочлена) — это результат этой формы и её производной. Я думаю, что читатели из этого определения ничего не поняли:) Немного поясню: отталкиваясь от этого произведения, можно взять квадратный многочлен и вычислить его производную. Потом с помощью определителя их матрицы можно вычислить ту самую формулу дискриминанта. Это уже тема кас

Дадим определение квадратному корню. Определение 1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Что значит это определение? Разберем на конкретном примере. Допустим, надо вычислить √16. Надо найти такое число, которое при возведении в квадрат даст 16. Это число 4. То есть Почему в определении говорится, что число под корнем должно быть неотрицательным? Почему не существует квадратного корня отрицательного числа? Все очень просто! Поскольку найти корень – значит найти число, квадрат которого равен подкоренному выражению, а любое число в квадрате – всегда положительное. Например, Следовательно, число под корнем должно быть обязательно неотрицательным. Замечание. Квадратный корень можно записать в виде степени одной второй. То есть Если у нас под корнем находится квадрат числа, то корень и степень “сократятся”. Пример: Чтобы вычислить квадратный корень, надо хорошо знать, чему равны квад

Теория. Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Пример: Основные арифметические действия. 1. Чтобы найти сумму или разность дробей, нужно привести к общему знаменателю. Примеры: 2. Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить числители и знаменатели (к общему знаменателю не приводить). Пример: здесь надо сократить 9 и 36, 20 и 60, получим 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно поменять знак деления на умножение, при этом дробь, на которую дели, надо перевернуть. Пример: Задания для самостоятельного решения. 1. Выполните сложение (после сложения, сократить дробь, при необходимости): 2. Выполните вычитание (после вычитания, сократить дробь, при необходимости): 3. Выполните умножение или деление: Если Вы плохо понимаете математику и хотите повысить уровень знаний, можете записаться ко мне на занятия! Со мной можно связаться через телеграмм: @rd_mach. Или через авит

Разберем задания из тренировочных, демонстрационных вариантов и вариантов экзамена 2024 г ЕГЭ по профильной математике. Более подробно векторы разбираются в этой статье. Пример 1. Решение. Для начала нам нужно координаты вектора. Для этого нам нужно найти координаты точки начала этого вектора и координаты точки конца. Отметим начало и конец каждого вектора. Найдем координаты каждой точки: A(1; 2), B(5; 8), C(5; 5), D(11; 3). Чтобы найти координаты вектора, надо вычесть из координат точки конца вектора координаты точки начала. То есть Скалярное произведение можно найти по формуле: В нашем случае скалярное произведение равно Ответ: 12. Пример 2. Пример 3. Пример 4. Решение. Скалярное произведение можно найти по формуле: В нашем случае скалярное произведение равно Ответ: 8. Пример 5. Решение. Для начала нам нужно координаты вектора. Для этого нам нужно найти координаты точки начала этого вектора и координаты точки конца. Отметим начало и конец каждого вектора. Найдем координаты каждой то

Для начала приведем определение степени из какого-нибудь учебника. Определение 1. Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд. Число a называется основанием степени, число n называется показателем степени. А теперь давайте повторим это определение, только простыми словами. Степень числа показывает, сколько раз мы должны умножить число на само себя. Приведем примеры: Примечание 1. Число в степени 0 всегда равно единице. Примечание 2. Число в отрицательной степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем — данное число с положительным показателем. Пример: Разберем свойства степеней. Свойство 1. Произведение степеней. При умножении двух степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются: Докажем это свойство. Воспользуемся определением степени и разберем пример, приведенный выше: Свойство 2. Деление степеней. При делении двух степеней с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются: Докажем это свойство. Воспо

В 9 задании ОГЭ проверяют умение ученика решать простейшие линейные, квадратные и рациональные уравнения. В этой статье я кратко расскажу о способе решения каждого вида уравнения и приведу решения нескольких уравнений, которые могут попасться на ОГЭ. Более подробно узнать про линейные уравнения можно тут. Более подробно узнать про квадратные уравнения можно тут. Более подробно узнать про рациональные уравнения можно тут. Определение 1. Уравнение — это равенство, содержащее одну или более неизвестных переменных, которые необходимо найти. Определение 2. Линейные уравнения — это уравнения, у которых переменные находятся в первой степени. Приведем алгоритм решения линейных уравнений. 1. Нужно упростить уравнение. Если в уравнении есть скобки — надо их раскрыть. Если есть дробные числа — избавиться от знаменателей. 2. Надо перенести числа с неизвестной переменной в левую часть равенства, а остальные числа в правую часть. 3. Привести подобные слагаемые. После этого мы получим уравнение вид

Определение 1. Вектор — это направленный отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая концом. Вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы могут обозначать двумя заглавными латинскими буквами (обозначающие начало и конец вектора) или могут обозначать одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней (см. рис.). Определение 2. Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, у которых совпадает направление. Противоположно направленные вектора —это коллинеарные векторы, у которых направления противоположны. С векторами можно производить различные действия, такие как: сложение, вычитание, умножение и т. д. Правило треугольника. Рассмотрим в пространстве два вектора (см. рис.). Как найти сумму этих векторов? Нужно переместить первый вектор так, чтобы его конец совпадал с началом второго вектора. Далее из начала первого векто

Введем несколько определений. Делители числа — это такие числа, на которые можно поделить исходное другое число. Покажем на примере. Рассмотрим число 6. Шесть можно разделить на 1, 2, 3 и 6 — это и есть делители числа. НОД (наибольший общий делитель). НОД ищется для двух и более чисел. Покажем на примере. Найдем НОД чисел 6 и 8. Для этого выпишем делители эти чисел: 6: 1, 2, 3 и 6; 8: 1, 2, 4 и 8; Общими делителями шести и восьми являются числа 1 и 2. Наибольшим общим делителем является число 2. Простое число — число, которое делится на 1 и на само себя, то есть имеет не более двух делителей. Приведем примеры простых чисел: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д. Составное число — число, которое имеет больше двух делителей. Пример: 2, 4, 6, 8, 9, 10 и т. д. Пример 1. Запишите все делители числа 35. Выделите среди этих делителей простые числа. Решение. Запишем делители числа 36 и полужирным выделим среди них простые числа: 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Основная теорема арифметики. Любое нат

Определение 1. Одночлены — это выражение, состоящее из чисел и каких-либо переменных, которые перемножаются между друг другом Примеры одночленов: Примечание. Обычно буквенную часть одночленов записывают без знака умножения, то есть Обычно в примерах приводятся одночлены стандартного вида. Как обычный одночлен привести к стандартному виду? Определение 2. Стандартный вид одночлена — это одночлен, у которого сперва записан числовой коэффициент, а затем записывается буквенная часть, и у которого произведение одинаковых переменных записывается в виде степени. Разберем несколько примеров: Определение 3. Подобные одночлены — это одночлены, у которых одинаковая буквенная часть. Подобные одночлены можно складывать и вычитать. То есть Примечание. Подобные одночлены складываются по распределительному закону арифметики. Данный закон выглядит следующим образом: То есть, если мы складываем 7xy + 3xy, то буквенную часть можно вынести за скобки xy(7 + 3). В итоге мы получим одночлен 10xy. Определение