Широков Александр

Построить на координатной плоскости график уравнения (постоянные a и b – положительные величины): (bx + ay)·arccos(2x/a)·arccos(2y/b) = 0 Функция арккосинуса определена не для всех значений аргумента. Найдём значения переменных, при которых уравнение имеет смысл. Для переменной x допустимыми будут такие: –1 ⩽ 2x/a ⩽ 1 ⇔ –a ⩽ 2x ⩽ a ⇔ –a/2 ⩽ x ⩽ a/2 а для y такие: –1 ⩽ 2y/b ⩽ 1 ⇔ –b ⩽ 2y ⩽ b ⇔ –b/2 ⩽ y ⩽ b/2 Получается, что на координатной плоскости график исходного уравнения будет располагаться в пределах прямоугольной области, ограниченной прямыми x = ±a/2 и y = ±b/2 (рис. 1). С учётом этих требований и на основании Правила 3(у) можно записать: В полученном объединении каждое из трёх равенств описывает на плоскости прямую линию (рис. 2). Если учесть требования, накладываемые на допустимые значения переменных x и y, то множество точек, координаты которых удовлетворяют исходному уравнению, будет представлять собой прямоугольный треугольник с катетами a и b, середина гипотенузы которого

Построить на координатной плоскости график уравнения: (|x + 3| + |x – 3| + | |y| – 2 | – 6)·(|y + 2| + |y – 2| + | |x| – 3 | – 4) = 0 Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей, поэтому в соответствии с Правилом 3(у) его графиком будет совокупность графиков уравнений из объединения: Заметим также, что левая часть исходного уравнения имеет смысл при любых значениях переменных. Займёмся построением графика первого уравнения объединения, переписав его в виде: |x + 3| + |x – 3| + | |y| – 2 | = 6 Рассмотрим сначала вариант, когда y ⩾ 0. В этом случае |y| = y и первое уравнение можно записать как |x + 3| + |x – 3| + |y – 2| = 6 Из результатов, полученных ранее в задании А-123 следует, что график этого равенства представляет собой отрезок, концы которого имеют координаты (–3; 2) и (3; 2) – см. рис. 1: Стоит обратить внимание и на то, что точки графика удовлетворяют требованию неотрицательности переменной y, на основании которого раскрывался её модуль. Пусть теперь

Построить на координатной плоскости график уравнения: 2·|x| + 3·|x + 2| + 3·|x – 2| + 4·|y| = 24 Преобразуем исходное уравнение: 2·|x| + 3·|x + 2| + 3·|x – 2| + 4·|y| = 24 ⇔ 4·|y| = 24 – 2·|x| – 3·|x + 2| – 3·|x – 2| ⇔ |y| = 6 – ¹/₂·|x| – ³/₄·|x + 2| – ³/₄·|x – 2| Для построения его графика рассмотрим сначала функцию y₁ = 6 – ¹/₂·|x| – ³/₄·|x + 2| – ³/₄·|x – 2| Ранее в задании А-105 рассматривалась функция y(x) = C – D·|x| – A·|x + B| – A·|x – B| имеющая график в виде непрерывной ломаной линии: и было установлено, что он проходит через точки (–m; 0), (–n; k), (0; p), (n; k), (m; 0) , когда Легко видеть, что y₁ = y(x), если принять A = ³/₄, B = 2, C = 6, D = ¹/₂. Найдём соответствующие значения k, m, n, p. Очевидно, что n = 2, значит Эти равенства образуют систему из трёх уравнений. Решим её, помня, что m≠2: Из полученных результатов следует, что график функции y₁ выпядит так: Теперь воспользуемся Правилом 1(у): все точки графика функции y₁ , лежащие в нижней полуплоскости, нужно о

Построить на координатной плоскости график уравнения: 5·|x + 3| + 5·|x – 3| + 6·|y| = 60 Преобразуем исходное уравнение: 5·|x + 3| + 5·|x – 3| + 6·|y| = 60 ⇔ 6·|y| = 60 – 5·|x + 3| – 5·|x – 3| ⇔ |y| = 10 – ⁵/₆·|x + 3| – ⁵/₆·|x – 3| Для построения его графика рассмотрим сначала функцию y₁ = 10 – ⁵/₆·|x + 3| – ⁵/₆·|x – 3| Ранее в задании А-104 рассматривалась функция y(x) = A·|x + B| + A·|x – B| – C имеющая график в виде «тупоносой галки»: и было установлено, что он проходит через точки (–m; 0), (–n; k), (n; k), (m; 0) , когда Легко видеть, что y₁ = y(x), если принять A = –⁵/₆ , B = 3, C = –10. Найдём соответствующие значения k, m, n. Очевидно, что n = 3, значит Эти равенства образуют систему из двух уравнений. Решим её, помня, что m≠3: Из полученных результатов следует, что график функции y₁ выглядит так: Теперь можно воспользоваться Правилом 1(у): все точки графика функции y₁ , лежащие в нижней полуплоскости, нужно отбросить, а его часть из верхней полуплоскости продублировать

Построить на координатной плоскости график уравнения (постоянные a и b – положительные величины): Преобразуем исходное уравнение: Для построения его графика рассмотрим сначала функцию y = b – b/a·|x| В соответствии с результатами из задания А-103 её график представляет собой линию в виде перевёрнутой «галки», пересекающую ось абсцисс в точках (–a; 0), (a; 0) и имеющею максимум в точке (0; b): Исходя из этого можно воспользоваться Правилом 1(у): все точки графика функции y = b – b/a·|x| , лежащие в нижней полуплоскости, нужно отбросить, а его часть из верхней полуплоскости продублировать,зеркально отразив в нижнюю, симметрично оси абсцисс. В итоге получается, что график исходного уравнения имеет вид ромба, диагонали которого пересекаются в начале координат и равны 2a и 2b. Одним из этапов решения задания А-109 являлось построение графика уравнения |x| + |y| = 1 , которое является частным случаем рассмотренного выше – оно на плоскости описывает квадрат (ромб с одинаковыми диагоналями,

Построить на координатной плоскости график уравнения (постоянные a и b– положительные величины): Функция арккосинуса определена для аргумента, принимающего значения от –1 до 1, а произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. С учётом сказанного с заданным в условии уравнением можно выполнить следующие равносильные преобразования: Выражения y = b/2 и y = –b/2 на координатной плоскости описывают две прямые линии, параллельные оси абсцисс, а x = a/2 и x = –a/2 – вертикальные прямые, параллельные оси ординат. Таким образом искомый график является совокупностью фрагментов этих прямых, образующих (с учётом требований к значениям x и y) фигуру в виде прямоугольника со сторонами a и b. Ход решения задачи в целом аналогичен рассмотренному в задании А-89 – там разбирался частный случай – уравнение вида arccos |x| ·arccos |y| = 0 , график которого представляет квадрат (прямоугольник с одинаковыми сторонами, равными 2). Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти зде

При каких значениях параметров a и b уравнение |x + a| + |x – a| + |y – b| = 2a , имеет решения и какими они будут? Начнём исследование уравнения с рассмотрения разных знаков параметра a. 1. Легко заметить, что левая часть уравнения есть сумма трёх неотрицательных слагаемых (трёх модулей). Это означает, что она не может быть меньше нуля, следовательно,если a < 0, то уравнение не может иметь решений ни при каких значения переменных x и y. 2. Рассмотрим теперь случай, когда a= 0. Исходное уравнение здесь примет вид: 2|x| + |y – b| = 0 Мы снова имеем в левой части уравнения сумму неотрицательных слагаемых, а она может быть равна нулю только если сами слагаемые одновременно равны нулю: Последняя запись означает, что при a= 0 исследуемое уравнение имеет ровно одно решение (0; b), где параметр b может быть любым действительным числом. 3. Пусть теперь a > 0. Здесь нужно будет сосредоточиться на разных вариантах раскрытия модулей, содержащих выражения с переменной x. Нетрудно видеть, что одно

В правильном пятиугольнике ABCDE со стороной, равной a, проведена диагональ AC, а из вершины B через центр описанной вокруг пятиугольника окружности O до стороны DE проведён отрезок BG, пересекающий диагональ AC в точке F. Найдите длины AC, BF и FG. Ниже на рис. 1 показан пятиугольник и отрезки, длины которых требуется отыскать (выразить через длину стороны a). Займёмся сначала AC. Проведём ещё две диагонали: BE и CE (рис. 2). Точку пересечения AC и BE обозначим как H. Обратим внимание на треугольники △ABC, △ABE и △CDE. Это равнобедренные треугольники, у которых боковые стороны равны a. Кроме этого. их углы ∠ABC, ∠BAE и ∠CDE также равны между собой, поскольку это углы правильного пятиугольника. Из этого следует, что △ABC = △ABE = △CDE по теореме о равенстве треугольников с двумя равными сторонами и углу между ними. Отсюда вытекает, что диагонали пятиугольника AC, BE и CE тоже равны между собой: AC = BE = CE (в силу того, что пятиугольник правильный, это также означает, что все его диа

В правильном восьмиугольнике ABCDEFGH со стороной, равной a, на диагональ AE из вершины B опущен перпендикуляр BK. Найдите длину этого перпендикуляра, а также длины отрезков AK и KE,, на которые он делит диагональ AE. Поскольку восьмиугольник ABCDEFGH является правильным, то он может быть вписан в окружность. Проведём из центра такой окружности радиусы к вершинам A, B, C и D. Угол между двумя соседними радиусами будет составлять величину 360° / 8 = 45°, соответственно ∠АОВ = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE , (см. задание А-10). Из этого следует, что ∠АОE = 45°·4 = 180°, то есть является развёрнутым. Это означает, что указанная в условии диагональ AE проходит через центр описанной вокруг восьмиугольника окружности (является её диаметром), а также то, что AE = 2 AO. Выразим длину АО через длину AB, которая по условию задачи равна a. Рассмотрим треугольник △AOB, в нём AO = OB, поэтому в соответствии с теоремой косинусов a² = AO² + OB² – 2·AO·OB·cos 45° = = 2AO² – 2·AO²·cos 45° = AO²·(2 – 2cos 45°) = О