Родился в Москве в семье Галины Александровны Пороховщиковой и Шалвы Амбековича Барабадзе. В 1946 году семья переехала в Магнитогорск, в 1953 году — в Челябинск, где в 1957 году А. Ш. Пороховщиков окончил школу. В 1957–1960 годах учился в Челябинском медицинском институте, прервал учёбу из-за переезда семьи в Москву. Тренировался в секции бокса, выступал на соревнованиях, провёл 20 боёв, имел взрослый разряд по боксу.

С 1960 по 1966 годы работал мебельщиком-реквизитором в Театре им. Вахтангова. В 1961 году Александр Пороховщиков окончил актёрский факультет при Всероссийском театральном обществе, в 1966 — вечернее отделение Театрального училища им. Б. В. Щукина и в том же году был принят в труппу Московского театра Сатиры. В 1971 году перешёл в Театр на Таганке, с 1981 года был актёром Московского театра им. Пушкина.

В кино дебютировал в 1966 году (по другим данным, в 1967 году) — в кинофильме «Поиск» он сыграл не очень большую роль скульптора.

В 1989 году основал одну из первых в СССР частных киностудий «ТЭМ „Родина“» (Творческая экспериментальная мастерская «Родина»), на базе которой совместно с киностудией «Ленинтерфильм» снял автобиографический полнометражный художественный фильм об истории своей семьи — «Цензуру к памяти не допускаю», в котором выступил как автор сценария, режиссёр и исполнитель главной роли.

С 1998 года преподавал актёрское мастерство в ГИТИСе, был художественным руководителем курса.

Скончался 15 апреля 2012 года в московской больнице. Похоронен в селе Рождествено Мытищинского района Московской области рядом с матерью и отчимом.