Можно ли из Донецка отправить посылку наложенным платежом в Москву или, к примеру, в Челябинск?

Да!

Почтовое отправление из Донецкой Народной Республики можно отправить наложенным платежом (https://postdonbass.com/services/nalozhennyy-platezh) в любой другой регион Российской Федерации.

Наложенный платеж — это сумма, которую адресат должен будет оплатить при получении отправления. Получатель имеет право в присутствии оператора/курьера ознакомиться с содержимым посылки, письма или бандероли перед оплатой наложенного платежа.

Источник: Министерство связи ДНР