Родился 22 ноября 1934 года в Новой Одессе Николаевской области. В 1938 году семья Поперечных переехала из Новой Одессы в Николаев. Во время Великой Отечественной войны жил с матерью на Урале. В 1944 году десятилетний Анатолий с матерью вернулись в Николаев, где будущий поэт закончил десять классов. После окончания школы работал на Черноморском судостроительном заводе, сначала подсобным рабочим в «горячем» цехе, был участником заводского литобъединения «Стапель» и заочно учился на филологическом факультете Николаевского педагогического института. В 1954 году окончил Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена. В 1957 году А. Поперечный послал рукопись своих стихов в Москву, в издательство «Советский писатель». В 1959 году издательство «Советский писатель» (г. Ленинград) выпустило сборник стихов и поэм «Полнолуние». В 1960 году вышла вторая книга стихов и поэм — «Червонные листья». В этом же году был принят в Союз писателей СССР и вскоре приглашён заведовать отделом поэзии в московский журнал «Октябрь», в связи с чем состоялся переезд поэта с семьёй в Москву. Анатолий Григорьевич жил и работал в Москве, свободное время старался проводить на природе, много читал. Любимые писатели — Н. В. Гоголь, Т. Г. Шевченко и В. М. Шукшин. Умер от сердечного приступа вечером 17 мая 2014 года в Москве. Похоронен 21 мая 2014 года на Троекуровском кладбище.