Справочная служба русского языка утверждает, что «грамматически правильная форма „пылесошу“.

Но из-за своей неблагозвучности она, как правило, избегается носителями языка. Во многих словарях можно встретить соответствующие указания („нет“, „затрудн.“, „избегается“, „несвободно“ и т. п.)».
Действительно, «пылесошу» есть в толковых словарях, пусть и не во всех распространённых. У Ожегова написано «в употреблении избегается». А в Орфографическом словаре под ред. В. В. Лопатина, выпущенном при помощи Института русского языка РАН, «пылесошу» приводится без какой-либо пометки. Что уже прямо говорит нам о нормативности этого варианта.
В Большом толковом словаре С. А. Кузнецова пишется следующее:
ПЫЛЕСОСИТЬ, –сошу, -сосишь; нсв. кого-что. Разг. Чистить с помощью пылесоса, пылесосом. Пылесосить ковёр, квартиру. Пылесосить кота.
Что это значит? «Пылесосить» относится к разговорным и форма «пылесошу» вполне допускается литературной нормой. А слова «пылесосю» в русском языке нет.
Таким образом, у глаголов «пылесосить» и «пропылесосить» есть формы 1 лица: пылесошу и пропылесошу соответственно. Однако в речи они часто избегаются, потому «пылесосить» всё ещё относят к недостаточным, как и «победить» с «убедить». Хотя, на мой взгляд, это совершенно разные случаи.
А если «пылесошу» вызывает неудобства, то вполне можно сказать «чищу, убираю пылесосом; делаю уборку пылесосом» и др.
А как привыкли говорить вы?