Что это за "мело" такое, превращающее драму во что-то слезливо-романтичное?..

Оба слова пришли к нам из французского языка, хотя происходят от греческих (кто бы сомневался вообще) корней: melos — напев/песня, drama — действие/сценическое представление.
Вероятно, вы знаете, что в Античности драма — это произведение, предназначенное для сценической постановки. Зачастую такие произведения о серьёзных жизненных проблемах, поэтому словом "драма" стали обозначать и тяжёлые ситуации в жизни людей.
"Мелодрама" же пришла к нам тоже из театра. Только из более позднего: постановки с жанром "мелодрама" возникли во Франции в XVIII веке. За основу таких постановок брали популярные тогда романы в направлении сентиментализм. А это романы, как правило, о любви, семейных узах, эмоциональной привязанности. Чтобы усилить эффект такого действия, использовали короткие музыкальные вставки с пантомимой ("песенное действие", помните?).
Конечно, в современном кинематографе музыкальный элемент использовать необязательно, но сама идея любовной драмы сохранилась.
Вот и получается, что "мелодрама" — это про излишнюю эмоциональность, сентиментальность и морально-поучительный характер. А "драма" — это всё ещё произведение, которое (чаще всего) ставят на сцене и основной упор в нём делают на диалоги. Сюжет там серьёзен, но не героичен.
Ну и ваши личные драмы никто не отменял.