Самым простым случаем звездных движений является движение компонентов двойной звезды.

Эта задача, называемая задачей двух тел, была изучена применительно к планетам Солнечной системы в первой половине 17-го в. Кеплером и теоретически полностью обоснована во второй половине того же века Ньютоном. Как и планеты около Солнца, один компонент (т. е. одна из звезд) двойной, звезды движется около другого компонента по эллиптической орбите. Это подтверждается наблюдениями многих двойных звезд.Вот, например, как изменялось положение слабого компонента по отношению к яркому компоненту в двойной звезде 70 Змееносца за период с 1831 и по 1963 г. (на рисунке). Проставленные годы указывают момент наблюдения. Мы видим, что за 132 года один компонент прошел полный путь по эллиптической орбите вокруг другого компонента и еще часть этого пути. У двойных звезд с большими периодами обращения за время проводимых в астрономии наблюдений компоненты успели пройти только часть пути по орбите. Чем меньше эта часть, тем менее уверенна определяется орбита. Трудность задачи состоит еще в том, что наблюдаемый эллипс движений не есть истинный эллипс, а является проекцией последнего на небесную сферу. Проекция эллипса — всегда тоже эллипс. Нужно, используя дополнительные данные — скорость движения на различных участках видимого эллипса и положение главного компонента внутри видимого эллипса — по видимому эллипсу восстановить истинный эллипс. Для этого разработано несколько методов. Вот, оказывается, как выглядит истинная орбита двойной звезды 70 Змееносца Когда получен истинный эллипс, то определяются его большая и малая полуоси а и b в условных единицах, а если известно расстояние до двойной звезды, то ив линейных единицах. Важное значение имеет определение большой полуоси. Согласно закону Кеплера сумма масс компонентов m1+m2, период обращения Р и большая полуось орбиты а связаны соотношением
m1+m2=(4π2/G)·(a3/P2) (1)
Здесь G — постоянная всемирного тяготения, равная 6,67 • 10-8, если m1+m2 выражено в граммах, а — в сантиметрах, Р —в секундах. Следовательно, зная период обращения и большую полуось, мы сразу находим сумму масс компонентов. Например, для двойной 70 Змееносца, истинная орбита которой изображена на рисунке выше, большая полуось а равна 3,4 • 109 км, период — 89 годам, и суммарная масса оказывается равной 3,0 • 1033 г, т. е. приблизительно 1,5 массы Солнца. Возможность определить массы звезд в двойных системах имеет огромное значение, так как это до сих пор единственный способ определения масс звезд. Все наши сведения о массах звезд основаны исключительно на изучении двойных звезд.
Но можно ли определить массу каждого компонента отдельно? Оказывается, можно сделать и это, если учесть, что движутся оба компонента двойной звезды. На рисунке выше мы рассматривали движение одного из компонентов по отношению к другому, т. е. условно считали один из компонентов неподвижным и получили так называемую относительную орбиту. На самом деле каждый из компонентов движется по своей эллиптической орбите вокруг общего центра инерции двойной звезды. Это можно обнаружить, опираясь на другие звезды, достаточно далекие, чтобы их можно было считать неподвижными. Тогда мы вместо одной относительной орбиты получили бы две абсолютные орбиты, показанные на рисунке. Сравнение взаимных положений компонентов на орбитах показывает, что это соответствует одной относительной орбите на предыдущем рисунке. Если теперь определить большие полуоси истинных абсолютных орбит а1и а2, то легко найти отношение масс компонентов, так как они обратно пропорциональны большим полуосям:
m1/m2=a2/a1 (2)
Если же известна сумма масс (формула 1) и их отношение (формула 2), то, решив эти два уравнения с двумя неизвестными, мы найдем массу каждого компонента двойной звезды. В 70 Змееносца первый компонент имеет массу 0,87, а второй — 0,63 массы Солнца.
Скорость движения υ каждого компонента, например, первого, по своей абсолютной орбите, т. е. вокруг центра инерции, определяется из равенства
(m1 υ12/2)-(Gm1m2/R) = -Gm1m22a (3)
В этом равенстве каждый член имеет важный физический смысл. Первый член левой части
m1 υ12/2 (4)
называется кинетической энергией, т. е. энергией движения. Он пропорционален массе тела и квадрату его скорости. Может быть, это на первый взгляд кажется удивительным, но энергия движения пропорциональна не первой степени скорости, а второй. Пуля, летящая вдвое быстрее, при ударе о препятствие выделяет тепла больше
не вдвое, а в четыре раза. Можно сказать, что вдвое быстрее летящий камень при ударе о тело нанесет повреждения в четыре раза большие. Если три автомобиля
разогнались, первый до скорости 10 м/с, второй — до 20 м/с, и третий — до 40 м/с, а затем свободно с выключенными моторами въезжают в гору, то первый автомобиль остановится на высоте 5 м, второй — на высоте 20 м, а третий — на высоте 80 м. Мы видим, что энергия, характеризующая здесь способность подниматься вверх,
преодолевать притяжение Земли, пропорциональна квадрату скорости. Второй член левой части равенства
Gm1m2/R (5)
называется потенциальной энергией тела. Если компонент находится на расстоянии R от центра инерции двойной звезды, то работа, которую нужно затратить, чтобы преодолеть силу взаимного притяжения компонентов и удалить компонент на бесконечность, т.е. окончательно разделить двойную звезду, равна как раз величине (5). Величина
-Gm1m22a (6)
стоящая в правой части равенства (3), во время движения компонентов двойной звезды не меняется, так как и постоянная тяготения G, и массы компонентов m1 и m2, и большая полуось орбиты α остаются во время движения компонентов неизменными. Следовательно, сумма кинетической и потенциальной энергий компонента не изменяется во время движения. Когда компонент приближается к центру инерции, расстояние R уменьшается и потенциальная энергия (5) по абсолютной величине возрастает, но нужно помнить, что она имеет знак минус. При приближении к центру инерции возрастает и скорость, так как сила тяготения разгоняет тело. При этом кинетическая энергия (4) возрастает ровно настолько, насколько возросла по абсолютной величине потенциальная энергия, так что с учетом знака потенциальной энергии сумма этих энергий остается во время движения неизменной. Наибольшая скорость, следовательно, достигается в точке, ближайшей к центру инерции,—в так называемом периастрии (точки В и B’ на рисунке выше с истинными абсолютными орбитами Змееносца), а наименьшая скорость — в апоастрии (точки Aи A’ на том же рисунке).
Если рассматривать всё более вытянутые орбиты— эллипсы, то нужно считать, что в них полуось а становится все больше и, значит, член в правой части уравнения (3) все меньше. В предельном случае, когда мы считаем полуось а бесконечно большой, эллипс разрывается, превращается в параболу —уже в незамкнутую кривую. Каждый компонент двойной звезды, двигаясь по параболе, не будет совершать обращений вокруг центра инерции, а уйдет бесконечно далеко. Двойная система распадется. Так как при безграничном возрастании полуоси а выражение (5) стремится к нулю, при движении по параболе справедливо уравнение, получаемое из (3) после приравнивания его правой части нулю:
(m1 υ12/2)-(Gm1m2/R) = 0 (7)
Таким образом, сравнивая (3) и (7), мы видим, что для устойчивости двойной звезды необходимо, чтобы сумма кинетической и потенциальной энергий каждого компонента была отрицательной величиной. Если эта сумма энергий оказывается равной нулю, то двойная звезда распадается. При положительности суммы кинетической и потенциальной энергий движение происходит по гиперболической орбите, которая незамкнута, следовательно, и в этом случае система распадается.
Если решить равенство (7) относительно скорости υ1, то получим
υ1 = √ (2Gm2/R) (8)
что является значением скорости, достаточной для ухода компонента из системы. Эта скорость называется критической. Формулу (8) можно использовать для вычисления критической скорости на поверхности Земли, потому что движение какого-нибудь тела в доле Земли есть также задача двух тел. Если вместо m2 подставить массу Земли 5,98 • 1027 г, вместо R— радиус Земли 6,37 • 108 см, то найдем
υ1 = 1,12·106 см/с = 11,2 см/с
Эту скорость, необходимую для того, чтобы преодолеть притяжение Земли, уйти от нее, называют второй космический скоростью.
Теперь рассмотрим другой крайний случай. Пусть двойная звезда не только устойчива, но расстояние между компонентами во все время движения остается неизменным. Так будет, если орбиты звезд круговые. Тогда во все время движения R = а и, сделав приведение подобных членов в равенстве (3), мы получим
(m1 υ12/2)-(1/2)(Gm1m2/R) = 0 (9)
Таким образом, при движении по круговой орбите, т. е. при неизменности размеров двойной звезды, равна нулю сумма кинетической энергии и половины потенциальной энергии.
Решая уравнение (9), мы получим значение скорости при движении по круговой орбите
υ1 =√ ( Gm2/R) (10)
По формуле (10) можно, например, вычислить скорость, которую должен иметь при запуске искусственный спутник Земли, чтобы двигаться по круговой орбите (у поверхности Земли). Получим υ1= 7,91 км/с. Эта скорость обычно называется первой космической скоростью. Сравнение с (8) показывает, что вторая космическая скорость (скорость, нужная для удаления на бесконечность) в √ 2 раз больше первой космической скорости.
В заключение этого мы хотим еще раз обратить внимание читателя на полученные нами два важных вывода, которые понадобятся в дальнейшем: 1) если сумма кинетической и потенциальной энергий компонента двойной звезды равна нулю или положительна, то двойная звезда распадается, 2) если движение компонента происходит по круговой орбите, т. е. если для двойной звезды характерна не только устойчивость, но и постоянство размера системы, то равна нулю сумма кинетической энергии и половины потенциальной энергии.