В своем труде Лобачевский утверждает, что аксиома параллельности Евклида ограничивает возможности теории, описывающей свойства пространства.

Он предлагает новую, неевклидову геометрию, которая допускает, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.

Вся научная деятельность русского математика и мыслителя Николая Ивановича Лобачевского связана с Казанским университетом. Здесь он учился, здесь стал профессором, избирался деканом физико-математического факультета, а затем и ректором.

Свое первое сочинение, посвященное новой геометрии, он представил для напечатания в университетских «Записках физико-математического отделения»

Но коллеги-рецензенты посчитали идеи профессора Лобачевского чрезмерно новаторскими и публикацию не одобрили.

Однако Лобачевский не был удручен таким ходом событий и продолжал развивать свои идеи. Они составили основу его капитального труда "О началах геометрии", который был напечатан в журнале "Казанский вестник" в 1829—30 г.г. Эта первая в мире публикация по теории неевклидовой геометрии делает открытие российского ученого достоянием мировой науки.

Сложные идеи неевклидовой геометрии были не всегда понятны современникам. Некоторые ученые той поры, едва начав исследования, вскоре оставляли их как излишне умозрительные.

Так поступил и немецкий математик К. Ф. Гаусс, который из опасения встретить непонимание современников свои идеи по неевклидовым пространствам не разрабатывал и не публиковал. Однако, прочитав написанные Лобачевским на немецком языке «Геометриче­ские исследования по теории параллельных линий», он сразу очень высоко оценил их. По предложению Гаусса Лобачевский был в 1842 избран членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества.

К сожалению, в целом ученый мир того времени оценивал открытия Лобачевского скептически. Всеобщее признание пришло к нему лишь после смерти.

Гениальность его открытий стала понятной после публикаций позднейших исследований Э. Бельтрами, Ф. Клейна и А. Пуанкаре, которые опирались в своих построениях на геометрию Лобачевского.

К своему столетнему юбилею в 1892 году Николай Лобачевский уже считался классиком. В его честь была учреждена международная математическая премия,а в 1896 Казани был открыт памятник ученому.