Алексей Дмитриевич Березкин родился 30 марта 1905 года в селе Тригубово Краснинского уезда Смоленской губернии, в многодетной семье сельского священника, но в своей биографии он указывал местом рождения село Заболотье Ельнинского уезда (ныне – Рославльский район).

Впервые Алексей познакомился со сценой в 1917 г. через культурно-просветительный кружок в деревне Заболотье. В это время в Заболотской школе обучалось 158 учащихся, и курс обучения составлял 4 года. При школе была хорошая библиотека. Преподавание осуществляли одна учительница и один законоучитель, роль законоучителя выполнял отец Алексея - священник Дмитрий Петрович Березкин. После окончания сельской школы Алексей отправился учиться в Ельню. Здесь, в школе II ступени, он стал активным членом рабочего клуба, в котором драматическим кружком руководил бывший актер столичных театров Петр Александрович Алякринский (известный театральный художник). С 1924 г., после окончания школы, А. Д. Березкин начал работать в Рязанском театре, где имел встречи с Владимиром Николаевичем Давыдовым российским и советским актёром, театральным режиссёром, педагогом, Заслуженным артистом Императорских театров, Народным артистом Республики и братьями Робертом и Рафаилом Адельгейм известными драматическими актерами. Рафаил Адельгейм внушил ему настоящую любовь к искусству. Занимаясь театральным искусством, Алексея, тем не менее, призвали в армию.
Став курсантом Особой команды 14 стрелкового полка 5 стрелковой дивизии Белорусского Военного Округа, Алексей Березкин был арестован 30 июня 1928 года ОО ОГПУ 5 стрелковой дивизии и осужден 28 сентября 1928 года Особым совещанием при Коллегии ОГПУ. Обвинен по ст. 58-10 за разного рода выражения недовольства властями, в том числе, например, за оглашение политических анекдотов. Приговор - 3 года ссылки на Урал.
Оказавшись в ссылке, Березкин с 1929 г. работал артистом по городам Урала. Около двух лет исполнял роли простаков и комиков в опереттах (играл Маллона в Роз-Мари", Гаррисона в "Ярмарке невест" и др.). В 1934 г. он был приглашён в г. Свердловский театр. Чуть ранее Алексей Дмитриевич знакомится с певицей Рутковской Валентиной Карловной (01.05.1901 - 02.12.1989), которая в1931 г. вышла за него замуж в г. Ирбите и в 1934 г. вместе с ним переехала в г. Свердловск. В браке в семье Березкиных родилась единственная дочь.
В Свердловском драматическом театре А. Д. Березкин исполнял острохарактерные роли. Его актерские работы отличались непосредственностью, искренностью, обаянием и сценической выразительностью.
В 1956 г. А. Д. Березкину было присвоено почетное звание "Заслуженный артист РСФСР".
Умер талантливый актер 21 января 1972 года. Похоронен на Широкореченском кладбище Свердловска.