Рашид Бейбутов родился 14 декабря 1915 года в Тбилиси в семье певца-ханенде из Шуши Меджида Бейбутова.

Мать Рашида, Фируза Векилова, была преподавателем русского языка, а также руководителем драматического кружка в Тифлисском клубе. В 1933 году Рашид Бейбутов поступил в железнодорожный техникум, где стал организатором самодеятельного студенческого оркестра. Затем служил в РККА, где был солистом армейского ансамбля.
Бейбутов много сделал для становления национальной оперы и музыкальной комедии. В 1966 году Бейбутов организовал Азербайджанский театр песни (сейчас носящий его имя) и руководил им до конца своих дней. Песенный репертуар певца был очень широк. Основное место в нем занимали произведения азербайджанских композиторов, азербайджанские народные песни. Он снялся в нескольких художественных фильмах. Умер певец 9 июня 1989 года в Москве из-за неудачной операции. Похоронен на Аллее почётного захоронения в Баку.