Прямая и обратная геодезическая задача

Прямая геодезическая задача
В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис.23), горизонтальное расстояние SAB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол αAB или румб rAB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.
Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.
Дано: Точка А( XA, YA ), SAB и αAB.
Найти: точку В( XB, YB ).
Непосредственно из рисунка имеем:
ΔX = XB – XA ;
ΔY = YB – YA .
Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:
ΔX = SAB · cos αAB ;
ΔY = SAB · sin αAB .
Так как в этих формулах SAB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos αAB и sin αAB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл.1.
Таблица 1.
Знаки приращений координат ΔX и ΔY
Приращения координат Четверть окружности в которую направлена линия
I (СВ) II (ЮВ) III (ЮЗ) IV (СЗ)
ΔX + – – +
ΔY + + – –
При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:
ΔX = SAB · cos rAB ;
ΔY = SAB · sin rAB .
Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.
Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:
XB = XA + ΔX ;
YB = YA + ΔY .
Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.
Обратная геодезическая задача
Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( XA, YA ) и В( XB, YB ) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: румб rAB и дирекционный угол αAB (рис.24).
Даннная задача решается следующим образом.
Сначала находим приращения координат:
ΔX = XB – XA ;
ΔY = YB – YA .
Величину угла rAB определем из отношения
ΔY= tg rABΔX
По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.
Для контроля расстояние SAB дважды вычисляют по формулам:
SAB= ΔX = ΔY = ΔX · sec αAB = ΔY · cosec αAB
cos αAB sin αAB
SAB= ΔX = ΔY = ΔX · sec rAB = ΔY · cosec rAB
cos rAB sin rAB www.youtube.com/watch?t=94&v=LyMVNLhDBFQ