На балансе предприятия числятся только полностью самортизированные объекты основных средств.

Нужно ли в этом случае сдавать авансовые расчеты и декларацию по налогу на имущество?
Да, нужно. Объекты основных средств числятся на балансе предприятия до момента выбытия. Это касается в том числе и полностью самортизированных объектов, имеющих нулевую стоимость. Соответственно у организации сохраняется обязанность представлять в налоговую инспекцию декларацию (налоговые расчеты) вплоть до выбытия (списания с баланса) таких объектов*.
Источник:
*Письмо ФНС России от 08.02.2010 №
3-3-05/128
Обращем Ваше внимание, что информацию о ставках и льготах по имущественным налогам (регионального и местного уровня) Вы можете получить, воспользовавшись сервисом Имущественные налоги: ставки и льготы