Может ли иностранная организация получить подтверждение статуса налогового резидента Российской Федерации в отношении своего контрагента?

Нет, не может. Заявление о предоставлении документа, подтверждающего статус налогового резидента Российской Федерации*, должна предоставить сама организация - контрагент.
Источник:
Приказ ФНС России от 07.11.2017 №ММВ-7-17/837@;
*Приложение №1 к приказу ФНС России от 07.11.2017 №ММВ-7-17/837@