ПРИСТУП - хорошее русское слово, равносмысленное иноземному штурму.

В других случаях здесь подойдёт НАТИСК.
Штурмовать - брать приступом, а одним словом - опри́ступить, оприступлять. Штурмовик - при́ступщик.
*Мозговой штурм при "переводе" порождает неоднозначность толкования (ср. сердечный приступ). Можно использовать другой словообраз, например, мыслемёт.