Ящик Пандоры

Старая школа – сайт с избранными учебниками по математике и русскому языку Искал задания по математике и наткнулся на весьма полезный сайт. Оговорюсь сразу: на нём также присутствует и русский язык как школьная дисциплина. Похоже, что сайт с учебниками создан русскими людьми, проживающими в Латвии. Вот рубрики сайта: Арифметика Алгебра Геометрия Тригонометрия Русский язык. По каждому разделу учебников немного, но они – одни из лучших. Как царских, так и советских времён. И что особенно ценно – без ПДФа, а если есть картинки с формулами или графиками – то они отличного качества. Чувствуется, что был проделан огромный труд, спасибо этим людям! Название сайта – „Старая школа”. В качестве иллюстрации, поместил ниже короткую главку из „Пособия для учителей” авторов Худобиных и Шуршалова, Москва, „Просвещение”, 1973 г. „Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций” – весьма полезно освежить в памяти. Ведь такие графики иллюстрируют практически все процессы как в природе, так и в обществе! § 210. Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функцийВ этом параграфе мы дадим краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций. При этом мы будем придерживаться следующего плана:1) область определения функции; 2) область изменения функции; 3) четность функции; 4) периодичность функции; 5) интервалы знакопостоянства; 6) нули функции, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль; 7) монотонность функции; 8) локальные экстремумы функции; 9) поведение функции вблизи «особых» точек (например, функции у = 1/x вблизи точки х = 0).Впрочем, порядок этот не является обязательным и в некоторых случаях для пользы дела может быть смело изменен. Отметим лишь, что осуществление каждого пункта плана всегда полезно сопровождать геометрической интерпретацией на графике исследуемой функции.1. Квадратная функция у = ax2 + bx + c (а =/= 0)Эта функция определена для всех значений х, так что областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел. Графиком квадратной функции служит парабола, вершина которой имеет координаты ( ) При а > 0 парабола направлена вверх (рис. 287), а при а 0, то областью изменения данной функции является совокупность всех чисел, больших или равных ; если же а < 0, то областью изменения ее служит множество всех чисел, меньших или равных .При b =/= 0 функция у = ax2 + bx + c не будет ни четной, ни нечетной, поскольку ни одно из равенствax2 — bx + c = ax2 + bx + c,[f(— х) = f (x)]иax2 — bx + c = = — (ax2 + bx + c),[f(— х) = — f (x)]не выполняется тождественно.При b = 0 квадратная функция принимает вид у = ax2 + c и потому является четной функцией.Данная функция непериодична. Если дискриминантd = b2 — 4асотрицателен, то функция не имеет нулей. В этом случае все ее значения имеют один и тот же знак — знак коэффициента а (см. рис. 289 для а > 0 и рис. 290 для а 0, то функция положительна при х x2, а отрицательна при x1 0, а а x2 (см. рис. 288).Наконец, возможен и случай, когда d = 0. Тогда квадратная функция имеет единственный нульx = При всех значениях х =/= она сохраняет один и тот же знак — знак коэффициента а.В случае, когда а > 0, квадратная функция у = ax2 + bx + c монотонно убывает при х (см. рис. 287 и рис. 289).В случае, когда а (см. рис. 288 и рис. 290).Данная функция имеет единственный локальный экстремумy экстр = Этот экстремум достигается при х = и является минимумом при а > 0 (рис. 287 и рис. 289) и максимумом при а < 0 (рис. 288 и рис. 290).2. Степенная функция у = хr.Область определения такой функции зависит от r.Например, при r = 1 (у = х) это будет совокупность всех действительных чисел, при r = 1/2 ( у = √x) — совокупность неотрицательных чисел, при r = 0 ( у = х0 ) — совокупность всех чисел, кроме 0. Для положительных значений х функция у = хr определена всегда, независимо от того, чему равно r.Область изменения функции у = хr также зависит от r. Например, функция у = х (r = 1) может принимать все действительные значения, функция у = x2 (r = 2) — только неотрицательные значения, а функция у = х0 (r = 0) — лишь одно значение, равное 1.Среди степенных функций есть четные и нечетные. Например, функции у = x2, у = x4 — четные, а функции у = x3, у = x—3 — нечетные. Некоторые степенные функции (например, у = √x) определены лишь для неотрицательных значений аргумента. Для них ставить вопрос о четности не имеет смысла.Степенная функция у = хr непериодична.При х > 0 степенная функция у = хr независимо от r положительна.Некоторые степенные функции (например, у = 1/x, у = х—3/2 не имеют нулей, для других же нулем является число 0 (например, для функций у = √x , у = x3) и т. д.;Если число r положительно, то при х > 0 степенная функция у = хr монотонно возрастает (рис. 291). Если же r отрицательно, то при х > 0 степенная функция у = хr монотонно убывает (рис. 292). Некоторые степенные функции, например у = x2, у = x4, имеют локальный минимум в точке х = 0.Отметим еще поведение функций у = 1/x и у = вблизи точки х = 0.Когда х стремится к нулю, оставаясь положительным, функция у = 1/x неограниченно возрастает. Когда же х стремится к нулю, оставаясь отрицательным, она неограниченно убывает (рис. 293).Функция у = при приближении х к нулю (как слева, так и справа) неограниченно возрастает (рис. 294).3. Тригонометрические функцииИз тригонометрических функций мы рассмотрим лишь две функции: у = sin х и у = tg x.Областью определения функции у = sin х является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех чисел, заключенных в интервале [— 1,1].Функция является нечетной и периодической с периодом 2π .В интервалах 2πп < x < π + 2πп эта функция положительна, а в интервалах π + 2πп < x < 2π + 2πп отрицательна (рис. 295).При х = πп она обращается в нуль.В интервалах — π/2 + 2πп < х < π/2 + 2πп функция монотонно возрастает, а в интервалах π/2 + 2πп < х < 3/2 π + 2πп монотонно убывает.Точки х = π/2 + 2πп являются точками локального максимума функции у = sin х . В них она принимает наибольшие значения, равные 1. Точки х = — π/2 + 2πп являются точками локального минимума. В них функция принимает наименьшие значения, равные — 1.Функция у = tg x определена при всех значениях х, кроме х = π/2 + πп. Областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел.Эта функция нечетна и периодична с периодом π (рис. 296).В интервалах πп < х < π/2 + πп она положительна, а в интервалах — π/2 + πп < х < πп отрицательна. При х = πп функция обращается в нуль. В каждом интервале, не содержащем точек х = π/2 + πп, эта функция монотонно возрастает. Локальных экстремумов функция не имеет. Когда значения х неограниченно приближаются к π/2 + πп, оставаясь меньше π/2 + πп, значения функции у = tg x неограниченно возрастают. Когда же значения х неограниченно приближаются к π/2 + πп, оставаясь больше этих значений, функция у = tg x неограниченно убывает.4. Показательная функция у = ах (а >0, а =/= 1)Областью определения этой функции является совокупность всех действительных чисел, а областью изменения — совокупность всех положительных чисел. Функция не является ни четной, ни нечетной. Не является она и периодической. При всех значениях аргумента х эта функция положительна. При а > 1 показательная функция у = ах является монотонно возрастающей (рис. 297), а при а 0, а =/= 1)Областью определения этой функции является совокупность всех положительных чисел, а областью изменения — совокупность всех действительных чисел. О четности или нечетности этой функции говорить не имеет смысла. Функция не является периодической. Если а >1, то при х > 1 функция положительна, а при х 1 функция отрицательна, а при х 1 эта функция является монотонно возрастающей (рис. 299), а при а 1, то при приближении х к нулю функция неограниченно убывает; если же а < 1, то при приближении х к нулю функция неограниченно возрастает.УпражненияПо плану, описанному в данном параграфе, исследовать функции (№ 1643—1652):1643. у = sin2 х.1644. у = sin 2x.1645. у = — |cos x].1646. у = sin ( x — π/4 )1647. у = tg ( x + π/4 ).1648. у = x2 — 4x +5.1649. у = x2 + x — 7.1650. у = 1 + x — 2x21651. у = х √x .1652. у = Если кто-то испытывает ностальгию по творчеству в ранней молодости, то, пожалуйста: вот несложная задачка из одного учебника с вышеупомянутого сайта. Как говорится, бог в помощь! 0464. От двух кусков сплава одинакового веса, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого куска? *** НАВЕРХ.