Можно ли держать в доме собаку?

Можно. Никаких канонических запретов к этому нет.
Вот как на этот вопрос ответил Святейший Патриарх Московский и всея Руси Кирилл в бытность его митрополитом Смоленским и Калининградским:
«Я хорошо отношусь к животным и очень люблю собак. У меня есть три собаки в Москве и две в Смоленске. Никогда Церковь не считала собак нечистыми животными, никогда не запрещала им входить в помещение. Очень многие выступают против того, чтобы собака заходила в храм, но не по богословским мотивам, а по причинам чисто традиционного, исторического характера, укорененным, как мне кажется, в представлениях о гигиене.
Возвращаясь к вопросу о собаках, хочу сказать, что запрет на то, чтобы собаки входили в храм, не зафиксирован в каноническом праве. Это просто часть традиции, и та же традиция распространяется, наверное, и на лошадей, поросят, кур, гусей и других животных. Но не распространяется на кошек. Почему? Да потому, что они всегда ловили мышей. И кошек запускали в храм именно с этой целью. Тем более что кошка – очень чистоплотное, почти стерильное существо, домашнее в полном смысле этого слова. Она не создает гигиенических проблем для пространства, в котором находится. Я думаю, что проблема заключается только в этом, и никакой мистики, связанной с собаками, нет, и тем более не существует никакого «антисобачьего» богословия. Надо любить животных, потому что, проявляя любовь к животным, мы тренируем наши человеческие эмоции, становимся более человечными. Что же касается бессмертной души, то должен сказать, что по образу и подобию Божию создан только человек. Согласно христианскому учению, животные не обладают бессмертной душой, и поэтому, когда животное умирает, мы с ним прощаемся навсегда».
Мнение, будто кошек в доме держать можно, потому что они "чистые", а собак нельзя, как "нечистых", сформировалось в древности. Тогда к домашним животным в принципе относились иначе, чем мы сейчас. Различие в разрешении жить в доме для кошек и собак связано исключительно со сложившимся функционалом этих животных. Кошек держали ради борьбы с крысами и мышами, а собак - для охраны двора либо охоты. Не стоит в этом искать какой-то особый мистический смысл.
Сегодня мы воспринимаем кошек и собак не столько как полезных в хозяйстве животных, сколько как компаньонов, наших друзей. Поэтому совершенно спокойно можно держать в доме и кошек, и собак.
Кстати, многие отмечают, что домашние животные любят слушать, как мы молимся. А вы за своими питомцами это замечали?