Попросите ребенка назвать самое-самое большое число – и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде “пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…” и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с “сиксиллионами” и “мультиллиардами”. По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, – просто детские шалости. Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося “триллион триллионов триллионов триллионов…” и так далее со скоростью один “триллион” в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, такими как число Грэма, TREE(3) и поистине исполинское число Райо.                                                                                          В 1920 году американский математик Эдвард Казнер попросил своего девятилетнего племянника Милтона Сиротту придумать название для числа, изображаемого единицей со ста нулями. Предложенное мальчишкой название “гугол” приобрело всеобщую известность после того, как Казнер написал о нем в своей книге “Математика и воображение”.  Помимо гугола юный Сиротта также предложил название “гуголплекс” для числа, записываемого как “единица со шлейфом из стольких нулей, сколько сможешь написать, пока не устанешь”. Казнер решил дать числу более точное определение, поскольку “кто-то может устать раньше, кто-то позже. Согласно определению Казнера, гуголплекс – это 10 в степени гугол, или единица с гуголом нулей. Число гугол нетрудно записать полностью: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Но гуголплекс неизмеримо больше. На всей планете не хватит бумаги, да что там бумаги на Земле, во всей видимой Вселенной не хватит вещества, чтобы записать все знаки гуголплекса, даже если изображать нули размером с протоны или электроны. Гуголплекс намного больше самого огромного из чисел, каким ученые древности дали названия, включая великанское “невыразимое”. И все же он не так велик, как число, которое получил в 1933 году математик из ЮАР Стэнли Скьюз, работая над проблемой в области простых чисел. Названное в честь этого ученого, число Скьюза представляет собой максимально возможное значение (верхний предел), которое получается при решении математической задачи, связанной с распределением простых чисел. Его значение – 1010^10^34, или, если точнее, 1010^8852142197543270606106100452735038,55.  Два десятилетия спустя Стэнли Скьюз объявил, что рассчитал еще одно число, в связи с той же задачей, но на этот раз не прибегая к предположению о верности гипотезы Римана. Оно получилось еще больше – 1010^10^964 плюс-минус несколько триллионов.    От чистой математики не отставала и физика со своими головоломными проблемами, решение которых также время от времени приводило к появлению гигантских чисел. На этом фронте одним из первых стал французский математик, физик-теоретик и ученый-энциклопедист Анри Пуанкаре, среди многочисленных трудов которого – исследования того, сколько времени требуется физической системе, чтобы вернуться в определенное исходное состояние. Когда речь идет о вселенной, так называемое время возвращения Пуанкаре – это промежуток времени, необходимый для того, чтобы вещество и энергия, пройдя через немыслимое количество преобразований, перераспределились до состояния, которое в точности, вплоть до субатомного уровня, повторяет начальное. По оценке канадского теоретика Дона Пейджа, в прошлом аспиранта Стивена Хокинга, для наблюдаемой Вселенной время возвращения Пуанкаре составляет 1010^10^10^2,08 лет. Это число больше гуголплекса и находится где-то посередине между малым и большим числами Скьюза. Пейдж также рассчитал максимальное время возвращения Пуанкаре для любой вселенной определенного типа. Оно еще больше – 1010^10^10^10^1,1 лет, что превосходит и второе из чисел Скьюза. Что касается самого гуголплекса, Пейдж отметил, что тот приближенно равен количеству микросостояний в черной дыре, сравнимой по массе с галактикой Андромеды. И “невыразимое”, и гуголплекс, и числа Скьюза титанически велики для постижения разумом. Но они и рядом не стояли с числом, названным в честь американского математика Рональда Грэма, впервые описавшего его в своей статье 1977 года.   

    В последние годы возник целый раздел занимательной математики под названием “гугология”, посвященный исключительно расширению горизонтов больших чисел путем описания и наименования еще бо́льших экземпляров. В принципе, назвать число, большее любого другого, может кто угодно. Если я назову число Грэма, вы можете сказать “число Грэма плюс 1”, или “число Грэма в степени, равной числу Грэма”. Но такое “надстраивание” за счет повторного использования одних и тех же математических действий не влечет за собой никаких коренных изменений: в результате все равно получится некая производная числа Грэма. Иначе говоря, придуманное вами число будет построено примерно таким же способом, как и само число Грэма, с помощью аналогичных приемов. Серьезные гугологи называют такую неэлегантную мешанину из уже существующих чисел и функций, никак не затрагивающую исходное большое число по сути, “салатом” и относятся к ней крайне неодобрительно. Число Грэма – это стрелочная нотация, доведенная до предела своих возможностей. В “салате” же к числу Грэма просто применяют какое-нибудь несущественное математическое действие. Такие безыскусные игры со скромным приращением готовых чисел не для гугологов; их интересует разработка принципиально новой системы, которую можно было бы расширить до таких масштабов, чтобы число Грэма показалось пренебрежимо малым. Одна такая бесконечно масштабируемая система уже существует. Она называется быстрорастущей иерархией, поскольку позволяет достичь феноменальных темпов роста. Что еще важнее, эта методика уже опробована математиками на практике и часто используется как эталон при разработке новых способов получения фантастически больших чисел.                         В 2007 году в рамках конкурса Big Number Duel в непримиримом поединке за самое большое число сошлись двое философов, старых школьных приятелей – Агустин Райо (он же Мексиканский Множитель) из Массачусетского технологического института и Адам Элга (он же Доктор Зло) из Принстона. Победителем становился тот, кто даст определение самому колоссальному числу. Схватка, в которой обмен остротами и сложнейшая математическая, логическая и философская полемика сочетались с драматизмом боя за звание чемпиона мира по боксу, проходила в забитой до отказа аудитории центра “Стата” МТИ.

Первый удар нанес Элга, начертав на доске единицу (видимо, в надежде, что его соперник не в форме). Райо незамедлительно парировал этот выпад, заполнив единицами всю доску. Элга тут же удалил часть линии у основания всех единиц, кроме первых двух, превратив их тем самым в знаки факториала. Так поединок продолжался, постепенно выходя за рамки знакомой математики, пока соперники не стали на ходу изобретать собственную нотацию для все больших чисел. Говорят, что в какой-то момент один из зрителей спросил Элгу: “А это число вообще можно вычислить?” На что тот после краткой паузы ответил: “Нет”. Наконец Райо отправил соперника в нокаут сокрушительным числом, описанным им как “наименьшее положительное число, большее любого конечного положительного числа, которое может быть выражено на языке теории множеств первого порядка с использованием не более чем гугола символов”. Мы не знаем, насколько велико число Райо, и, скорее всего, никогда не узнаем. Ни один компьютер никогда не сумеет его вычислить, даже если бы во Вселенной хватило места для гугола символов. Дело здесь не в нехватке места или времени: число Райо невычислимо, так же как неразрешима проблема остановки.                                     На сегодняшний день, если говорить о более-менее осмысленных больших числах, число Райо – своего рода граница, отделяющая нас от неизвестного. Называли и бо́льшие числа, такие, например, как BIG FOOT, объявленное в 2014 году. Но чтобы получить хотя бы смутное представление о BIG FOOT, нам придется погрузиться в странную область под названием “вселенная куч” (oodleverse) и выучить язык теории куч первого порядка – а здесь не обойтись без ученой степени в области высшей математики и очень своеобразного чувства юмора. Да и в любом случае все самые большие на сегодня числа построены по тому же принципу, что и число Райо. Чтобы еще глубже проникнуть в бескрайнее пространство чисел, гугологам нужно развивать существующие методики или разрабатывать новые, так же как освоение все более дальних просторов космоса требует новых прорывов, больших и малых, в двигателестроении. А пока охотникам за большими числами придется полагаться на те же приемы, что использовал Райо, только применять их уже к расширенной версии теории множеств первого порядка. Можно, например, добавить в нее аксиомы, которые позволят оперировать бесконечностями еще более грандиозного масштаба, а с их помощью уже генерировать новые рекордные конечные числа.   Если говорить начистоту, вся эта суета с описанием больших чисел ради рекордов не слишком волнует профессиональных математиков, так же как они не видят особого смысла в вычислении все большего и большего количества знаков числа пи. Гугология все же скорее хобби – этакий интеллектуальный мачизм, гонки NASCAR для специалистов по теории чисел

. В то же время нельзя сказать, что пользы от нее никакой: она помогает нам осознать пределы нашей сегодняшней математической вселенной, подобно тому как наблюдение небесных тел с помощью самых мощных телескопов раздвигает границы физического космоса. Заманчиво думать, что огромные числа вроде числа Райо дают нам возможность немножко приблизиться к бесконечности. Но на самом деле это не так. Бесконечные числа можно использовать для получения конечных, но конечное и бесконечность никогда не сольются. Правда в том, что, как бы мы ни старались, какие бы методики ни изобретали для описания все бо́льших и бо́льших чисел, мы ни на шаг не ближе к бесконечности, чем в детстве, когда умели считать только до трех.                                                                                                                                     Д. Дарлинг, А. Банерджи   *На краю бесконечности и за ним*