Одна из самых странных особенностей теории струн в том, что она требует существования большего количества пространственных измерений, чем те три, которые мы непосредственно наблюдаем в окружающем нас мире. Напоминает научную фантастику, и тем не менее это неоспоримый факт, вытекающий из математики теории струн.  Но как вообще можно научиться видеть помимо знакомых нам измерений еще одно? Где находится дополнительная ось, расположенная перпендикулярно к тем, что мы уже знаем? Эти вопросы могут показаться чисто умозрительными. Ведь в нашем мире всего три измерения – так зачем ломать голову и переживать из-за четвертого, пятого и так далее? Дело в том, что дополнительные измерения могут понадобиться ученым, чтобы объяснить, что происходит на субатомном уровне. В этих дополнительных измерениях, возможно, кроется ключ к пониманию великого закона вещества и энергии. А на более практическом уровне четырехмерное зрение могло бы открыть огромные возможности в медицине и образовании. Иногда четвертое измерение толкуют не просто как дополнительную ось в пространстве. В конце концов, измерять можно не только пространство. В физике, например, основные “измерения”, образующие кирпичики, из которых строятся другие величины, – это длина, масса, время и электрический заряд. В других контекстах физики зачастую говорят о трех пространственных измерениях и одном – временно́м, особенно с тех пор, как Альберт Эйнштейн доказал, что в нашем мире они всегда связаны в единое целое под названием “пространство-время”. Но и до теории относительности люди строили догадки о возможности перемещаться вперед и назад во временно́м измерении, подобно тому как мы можем свободно передвигаться в пространстве. В опубликованном в 1895 году романе “Машина времени” Герберт Уэллс объясняет, например, почему не может существовать вневременный куб. Наблюдаемый нами мгновение за мгновением куб – всего лишь проекция четырехмерного тела, имеющего длину, ширину, высоту и продолжительность существования. “Единственное различие между Временем и любым из трех пространственных измерений, – говорит Путешественник во Времени, – заключается в том, что наше сознание движется по нему”  Из-за неспособности представить себе, как могут выглядеть тела в более многомерном мире, у нас возникает соблазн считать четвертое измерение чем-то таинственным, находящимся за гранью известного нам мира. А вот у математиков работа с четырехмерными объектами и пространствами не вызывает никаких затруднений – для того чтобы описать их свойства, математикам вовсе нет необходимости представлять, как те выглядят. Эти свойства можно рассчитать с помощью алгебры и математического анализа, не прибегая ни к каким многомерным умственным ухищрениям. Возьмем, к примеру, окружность. Окружность – это кривая, состоящая из всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии (называемом радиусом) от заданной точки (центра). Как и у прямой линии, у окружности нет ни ширины, ни высоты – только длина, а потому окружность одномерна. Представьте, что вы находитесь на линии и ограничены ее пределами. Вы сможете передвигаться только вдоль этой линии, либо в одну сторону, либо в противоположную. То же и с окружностью. Хоть она и существует в пространстве, имеющем как минимум два измерения, но, если вы расположены на ней и ею же ограничены, свободы перемещения у вас не больше, чем на прямой: только туда и обратно по окружности, то есть фактически – одно измерение. Нематематики иногда путают окружность с кругом. Но для математика круг – это совсем другой объект, включающий в себя и то, что находится в пределах окружности. Окружность – это одномерная фигура, которую можно “вложить” в двумерный объект, плоскость (упрощенно это можно изобразить, нарисовав окружность тонким карандашом на листе бумаги). Длина окружности равна 2πr, где r – ее радиус; а площадь поверхности, ограниченной окружностью, вычисляется по формуле πr2. Перейдя на одно измерение выше, получаем сферу, состоящую из всех точек, лежащих на одинаковом расстоянии от заданной, но уже в трехмерном пространстве. И опять-таки человек, далекий от математики, может спутать сферу (двумерную поверхность) с шаром, который включает в себя еще и все точки, находящиеся внутри этой поверхности. Для математика же это совершенно разные вещи. Сфера – двумерный объект, который может быть вложен в трехмерное пространство. Площадь ее поверхности равна 4πr2, а ограниченный ею объем – 4/3 πr3. По аналогии с обычной, двумерной, сферой математики, обобщая, называют окружность одномерной сферой, а сферы более высоких измерений именуют “гиперсферами”, указывая их размерность. Простейшая (трехмерная) гиперсфера – это трехмерный объект, вложенный в четырехмерное пространство.

Вообразить себе, как она выглядит, мы не способны, но понять, что она из себя представляет, благодаря аналогии можем. Точно так же как окружность – это кривая линия, а обычная, двумерная, сфера – искривленная поверхность, трехмерная гиперсфера – это искривленный объем. С помощью несложного математического расчета можно доказать, что этот искривленный объем описывается формулой 2π2r3. Это эквивалент площади поверхности обычной сферы, только применительно к сфере трехмерной. Эту величину также называют трехмерной гиперплощадью, или площадью поверхности трехмерной гиперсферы. Внутри трехмерной гиперсферы заключено четырехмерное пространство, гиперобъем которого равен 1/2 π2r4. Доказать истинность этих фактов о трехмерной сфере не намного сложнее, чем доказать то же для окружности или обычной сферы, и для этого вовсе не обязательно представлять себе, как трехмерная сфера выглядит. Так же трудно нам представить, как может выглядеть четырехмерный куб, или тессеракт (хотя, как мы увидим позже, его вполне можно попытаться изобразить в двух или трех измерениях).

И тем не менее совсем не сложно описать переход от квадрата к кубу, а от него – к тессеракту: у квадрата 4 вершины (угла) и 4 ребра (стороны); у куба 8 вершин, 12 ребер и 6 граней; у тессеракта 16 вершин, 32 ребра, 24 грани и 8 “ячеек” (трехмерных эквивалентов граней), состоящих из кубов. Вот именно этот последний факт и сводит к нулю все наши попытки наглядно представить себе тессеракт: восемь его ячеек расположены таким образом, что ограничивают собой четырехмерное пространство, точно так же как внутри шести квадратных граней куба заключено трехмерное пространство. Обычно, чтобы получить хоть какое-то представление о четвертом измерении, имеет смысл провести аналогию с привычным нам третьим. Например, если задаться вопросом, как бы выглядела трехмерная гиперсфера (лежащая в четырехмерном пространстве), если бы она прошла через наше пространство, полезно рассмотреть, что происходит, когда обычная сфера проходит через плоскость. Предположим, что эту плоскость населяют двумерные существа. Глядя вдоль поверхности своего плоского мира – а больше ничего они и не могут, ведь объема для них не существует, – они видят лишь точки или линии разной длины, которые умеют интерпретировать как двумерные фигуры. В момент соприкосновения нашей объемной сферы с их двумерным пространством они увидят ее как точку, которая постепенно вырастает в окружность, достигает максимального диаметра, равного диаметру сферы, а потом снова сжимается до точки и исчезает, когда сфера полностью проходит через плоскость. Точно так же, если трехмерная гиперсфера пересечет наше пространство, мы увидим ее как точку, которая раздувается, словно пузырь, до обычной сферы максимального диаметра, а потом сжимается и наконец исчезает. Истинную природу трехмерной гиперсферы, ее дополнительное измерение, мы увидеть не сможем, но вот ее таинственное появление, рост и исчезновение заставят нас немало удивиться. Четырехмерные существа, попавшие в наш мир, обладали бы, с нашей точки зрения, поистине магическими способностями. Они запросто могли бы, например, взяв левый ботинок, перевернуть его в четвертом измерении и превратить в правый. Если это кажется непонятным, представьте себе двумерный ботинок – нечто вроде бесконечно тонкой подошвы, имеющей форму правой или левой ступни. Вырезаем его из бумаги, поднимаем, переворачиваем и кладем на место. И пожалуйста – был правый ботинок, стал левый! Двумерное существо такой трюк поверг бы в полное изумление, а нам, вооруженным третьим измерением, это проще простого. В принципе, четырехмерному существу ничего не стоило бы перевернуть в четвертом измерении и целого (трехмерного) человека. Впрочем, отсутствие прецедентов, когда в человеке все правое и левое вдруг поменялось бы местами, дает основания полагать, что в реальности такого не происходило. В рассказе “История Платтнера” Герберт Уэллс описывает удивительный случай, происшедший со школьным учителем Готфридом Платтнером, который после взрыва в кабинете химии исчезает на девять дней. Вернувшись, он представляет собой зеркальное отражение предыдущего себя, но его рассказ о том, что произошло во время его отсутствия, встречают с недоверием. Если человека действительно “перевернуть” таким образом в четвертом измерении, это мало того что вызовет у него шок при виде собственного отражения в зеркале (лица людей на удивление асимметричны), но и не лучшим образом отразится на здоровье. Многие важнейшие вещества в нашем организме, в том числе глюкоза и большинство аминокислот, имеют определенную ориентацию: например, молекулы ДНК, имеющие форму двойной спирали, всегда закручены как винт с правой резьбой.

Если у всех них поменять ориентацию, мы умрем от истощения – ведь в таком преображенном виде многие из необходимых питательных веществ растительного и животного происхождения наш организм просто не сможет усвоить. Математики начали проявлять интерес к четвертому пространственному измерению в первой половине XIX века, после работ немецкого ученого Августа Фердинанда Мёбиуса. В первую очередь его помнят как изобретателя объекта, позже названного в его честь, – ленты Мёбиуса – и как пионера топологии. Он же первым пришел к выводу, что в четвертом измерении трехмерный объект можно повернуть так, чтобы получить его зеркальное изображение.  Благодаря работам Кэли, Римана и других ученых, математики научились выполнять сложные алгебраические вычисления для четырехмерного пространства и создали новые, многомерные геометрии, выходившие за рамки правил, установленных Евклидом. Но вот что им все равно никак не удалось, так это начать видеть в четырех измерениях. А возможно ли это вообще? Этот вопрос не давал покоя британскому математику, преподавателю и автору научно-фантастических романов Чарльзу Говарду Хинтону. Хинтон считал, что в рамках трехмерного восприятия действительности нас удерживает только сила привычки и что четвертое измерение, возможно, находится рядом с нами – нужно лишь научиться его видеть. Хотя представить себе четырехмерный объект затруднительно, нарисовать его плоское изображение довольно легко, особенно если это четырехмерный аналог куба, для которого Хинтон придумал термин “тессеракт”. Для начала нарисуйте два квадрата, слегка отступающие друг от друга, затем соедините их углы прямыми линиями. У вас получится изображение куба в перспективе – ваше воображение придает ему объем, как бы разделяя квадраты в пространстве. Теперь нарисуйте два куба, соединенные углами. Будь у нас четырехмерное зрение, мы увидели бы их как два куба, разделенные в четвертом измерении, – то есть как перспективное изображение тессеракта. К сожалению, такие плоские изображения четырехмерных объектов слабо помогают нам понять, как те выглядят в действительности. Хинтон осознал, что научиться видеть в четырех измерениях легче, наблюдая трехмерные модели, которые при вращении демонстрируют различные аспекты четырехмерных объектов: по крайней мере, при этом мы рассматриваем перспективное изображение реального объекта, а не перспективное изображение другого перспективного изображения. Для этого он придумал хитроумное наглядное пособие в виде набора разноцветных деревянных кубиков с гранью в один дюйм. Полный набор состоял из 81 кубика, раскрашенного в 16 цветов, из 27 “плиток”, использовавшихся для демонстрации аналогии с трехмерными объектами, которые можно построить в двумерном пространстве, и из 12 разноцветных “каталожных” кубов.

Путем сложных манипуляций с кубиками, детально описанных им в книге “Четвертое измерение”, впервые опубликованной в 1904 году, Хинтон сумел представить различные поперечные сечения тессеракта, а затем, запомнив, какие именно кубы и в какой ориентации составляют эти сечения, заглянуть в многомерный мир.

Действительно ли Хинтон научился создавать четырехмерные образы в своем воображении? Удалось ли ему в дополнение к привычным нам направлениям вверх-вниз, вперед-назад и вправо-влево увидеть “ката” и “ана” (так он назвал два противоположных направления, существующие в четвертом измерении)? Не имея возможности залезть к нему голову, мы вряд ли это узнаем. Нам точно известно, что не он один пытался создать трехмерные модели четырехмерных объектов. Он продемонстрировал кубики сестре своей жены Алисии Буль Стотт, которая интуитивно почувствовала геометрию четвертого измерения и мастерски освоила создание картонных моделей, представляющих собой трехмерные сечения четырехмерных политопов. Вопрос тем не менее остается: можно ли таким способом выработать у себя настоящее четырехмерное видение, или же такие модели просто помогают понять и освоить геометрию четырехмерных объектов? Сегодня компьютеры и другие передовые технологии дают нам огромное преимущество в поисках возможности визуализировать мир четырех измерений. Можно легко создать анимацию каркасной модели тессеракта – например, показать, как в процессе вращения меняется его изображение на плоском экране. Наш мозг, конечно, все равно интерпретирует то, что мы видим, как странное поведение сопряженных друг с другом кубов, а не как четырехмерное изображение. И все-таки мы сознаем, что перед нами происходит нечто необычное, что невозможно объяснить с точки зрения привычных трех измерений. Есть ли надежда, что сегодняшние (или завтрашние) технологии позволят нам увидеть четвертое измерение непосредственно? Существует точка зрения, согласно которой, что бы там ни говорили Хинтон и другие, человек никогда не сможет по-настоящему видеть в четырех измерениях, поскольку весь мир наш безнадежно трехмерен, и мозг наш трехмерен, и весь аппарат, которым снабдила нас эволюция, способен интерпретировать получаемую от органов чувств информацию только в трехмерном контексте. Никакие усилия человеческого разума не смогут переместить частицы, из которых состоят наши тела, в иную плоскость бытия. И никакие чудеса инженерной мысли никогда не позволят нам создать четырехмерный объект, например настоящий тессеракт. Это, впрочем, никогда не останавливало писателей-фантастов, в чьем воображении то и дело возникают всевозможные странные стечения обстоятельств, приводящие к тому, что у обычного трехмерного объекта появляется дополнительное измерение. У физиков XXI века есть новый повод заинтересоваться высшими измерениями: теории струн. Согласно этим теориям, субатомные частицы, такие как электроны и кварки, описываются не как точки в пространстве, а представляют собой одномерные вибрирующие “струны”. Самое странное свойство этих теорий вот в чем: чтобы быть математически согласованными, им необходимо наличие у пространства-времени, в котором мы живем, дополнительных измерений. Одна из этих теорий, называемая теорией суперструн, исходит из существования десяти измерений, ее разновидность, известная как М-теория, оперирует одиннадцатью, а еще одна, так называемая бозонная теория струн, требует наличия целых двадцати шести измерений. Все эти дополнительные измерения “компактифицированы”, то есть значимы только на фантастически малых расстояниях. Быть может, когда-нибудь мы научимся “усиливать” или “разворачивать” эти измерения или даже наблюдать их как есть. А пока (и в обозримом будущем) придется ограничиться хорошо знакомыми нам тремя макроскопическими измерениями пространства. Так что вопрос о том, в силах ли мы представить себе, как в реальности выглядит четырехмерный объект, остается открытым. Наш опыт зрительного восприятия мира строится на том, что свет, проходя через глазное яблоко, попадает на сетчатку и создает два плоских изображения. Светочувствительные клетки сетчатки преобразуют свет в электрические сигналы, которые передаются в зрительную кору головного мозга, а уже там двумерная информация реконструируется в трехмерную. Два глаза позволяют нам видеть объект под немного различными углами, а мозг еще в нашем юном возрасте обучается интерпретировать эти различия как разницу в перспективе и строить трехмерное изображение. Но даже закрыв один глаз, мы не переключаемся мгновенно в двумерное толкование мира. Смотря на мир одним глазом, мы все равно получаем от него “подсказки” в виде искажений перспективы, игры света и тени, которые позволяют нам в своем воображении воссоздать объем видимого. А еще для того, чтобы усилить ощущение трехмерности, мы можем двигаться или крутить головой, изменяя угол зрения; можем дополнять то, что видим, информацией от других органов чувств – слуховой, осязательной. Мы так наловчились добавлять к картинке лишнее измерение, что, смотря кино на плоском экране телевизора, автоматически, без всяких 3D-технологий воспринимаем его как объемное. Спрашивается: если мы способны построить трехмерное изображение из получаемой нами двумерной картинки, можем ли мы, используя трехмерную зрительную информацию, создать в своем воображении мысленный образ четвертого измерения? Наша сетчатка плоская от природы, но у электронной технологии нет такого ограничения. Установив в разных местах достаточное количество фотокамер или других устройств для получения изображений, мы можем собирать информацию одновременно с какого хотим количества точек, под любыми углами. Но все же для формирования четырехмерного изображения этого мало. Наблюдатель с реальным четырехмерным зрением, смотря на объект в нашем мире, способен был бы видеть не только всю его трехмерную поверхность, но одновременно и то, что находится внутри. К примеру, если вы запрете свои ценности в сейфе, четырехмерное существо сможет, бросив на него один лишь взгляд, не только увидеть сейф одновременно со всех сторон, но и заглянуть внутрь (а при желании и достать его содержимое!). И это не потому, что подобное существо обладает рентгеновским зрением и способно видеть сквозь стены, нет. Просто у него есть возможность использовать дополнительное измерение. Мы используем ту же возможность, глядя на замкнутое пространство в двумерном мире. Нарисуйте квадрат на бумаге – пусть это будет двумерный сейф, – а внутри него какие-нибудь драгоценности. Житель Флатландии, обитающий в плоскости своей двумерной страны, увидит только внешнюю границу сейфа – отрезок прямой. Мы же, смотря на лист бумаги – флатландский мир – сверху, видим одновременно и линии, образующие стенки сейфа, и его содержимое и можем, протянув руку, вынуть из него двумерные драгоценности. Флатландец несказанно удивился бы тому, как мы сумели, не проделав ни единого отверстия в стенках, увидеть то, что внутри сейфа, и достать спрятанное. Точно так же и наблюдатель, рассматривающий наш мир из своего четвертого измерения, смог бы одновременно видеть и снаружи, и изнутри все составные части любого трехмерного объекта – будь то дом, автомобиль или человеческое тело. Один из возможных способов создать если не четырехмерное зрение, то хотя бы его иллюзию – это сконструировать трехмерную сетчатку, состоящую из множества слоев, на каждый из которых проецируется уникальное сечение трехмерного объекта. Информацию с такой искусственной сетчатки можно было бы передавать непосредственно в человеческий мозг таким образом, чтобы у его обладателя был доступ одновременно ко всем сечениям – в точности как у настоящего четырехмерного наблюдателя. В результате получилась бы пусть не реальная четырехмерная картинка, но нечто подобное образу трехмерного объекта, который мы увидели бы, рассматривая его “с высоты” четвертого измерения. Такая технология немало пригодилась бы в разных областях. Причем первый компонент для нее – трехмерная сетчатка – уже существует в реальности: это медицинские сканеры, строящие объемные изображения человеческого тела из двумерных изображений-срезов. Второй компонент нам пока недоступен: мы не можем передать информацию в зрительную кору таким образом, чтобы мозг сумел построить из нее многоракурсное изображение объекта во всех его видах сразу, – для этого у нас нет ни достаточно совершенного нейрокомпьютерного интерфейса, ни нужных знаний в области неврологии. Однако не исключено, что “Человек 2.0” не такая уж далекая перспектива – всего-то нужно подождать еще пару десятков лет. Футуролог Рэй Курцвейл считает, что к 2030-м годам мы будем вживлять себе в мозг наноботы – микроскопические роботы, способные связываться с облачными компьютерными сервисами.  Научить человека пользоваться трехмерной сетчаткой и создавать мысленные образы таким радикально новым способом будет нелегко, даже имея необходимые для этого технологии и установив связь между ними и корой мозга, – потребуются длительное обучение и тренировки. Зато какие уникальные возможности откроются перед врачами-диагностами, хирургами, исследователями и педагогами! Сложный процесс обучения четырехмерному видению можно реализовать только при помощи симуляций, поскольку в нашем мире четырехмерных объектов просто не существует. Вероятно, проще всего будет начать с компьютерной модели тессеракта, изучавшегося Хинтоном. Глядя на трехмерное воплощение тессеракта, мы видим его только с одного ракурса, воспринимая лишь одну проекцию четырехмерного объекта. Чтобы человек смог постичь все четырехмерное многообразие тессеракта, зрительному центру мозга потребуется мгновенно собрать воедино и скомбинировать в целостное изображение многочисленные проекции. Повторимся: даже при наличии необходимых технологий и нейронных связей придется потратить немало времени на упражнения и тренировки, чтобы четвертое измерение предстало перед нами во всем своем величии. Трудно – да, но не невозможно. Есть вполне реальная надежда, что, мысленно соединяя с помощью компьютерных технологий в единый образ большое количество трехмерных сечений четырехмерного объекта, мы сумеем понять, что же это такое – видеть в четырех измерениях.

Математика дает нам возможность всесторонне и глубоко изучать то, что неподвластно одному нашему воображению. С ее помощью мы можем выходить за пределы своего привычного трехмерного мира и исследовать в мельчайших подробностях свойства вещей, имеющих четыре и более измерений. Математика позволяет нам двигать вперед теоретическую науку, необходимую для познания Вселенной как на ультрамикроскопическом, так и на космическом уровнях. Но что еще важнее, она открывает перед нами возможность разработать средства, которые позволят нам воочию увидеть многомерный мир.                                             На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг