Предыдущая публикация
Глава 7.
ДАТИРОВКА ЗВЕЗДНОГО КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ДАТИРОВКЕ КАТАЛОГА АЛЬМАГЕСТА ПО ИЗМЕНЕНИЮ КООРДИНАТ ИМЕННЫХ ЗВЕЗД.
В разделе 1 выделена группа звезд, которую мы назвали информативным ядром Альмагеста. Ее поведение будет подробно рассматриваться далее. Здесь же мы проанализируем поведение совокупности всех 12 именных звезд Альмагеста. Это предварительное изучение, во-первых, наглядно показывает, насколько улучшаются точностные свойства каталога Альмагеста после компенсации в нем систематической ошибки. Во-вторых, дает дополнительное обоснование того факта, что 3 именных звезды из 12, -- а именно, Канопус, Сириус и Аквила = Альтаир, -- нарушают однородность всей выборки. Выясняется, что по отношению к остальным именным звездам эти три звезды являются "выбросами". Ниже при исследовании всей совокупности 12 именных звезд Альмагеста мы используем координаты звезды Превиндемиатрикс из [1339], вычисленные, по-видимому, Галлеем. Обозначим через Δ Bi(t, γ, φ) разность между широтой i-й звезды информативного ядра Альмагеста после компенсации систематической ошибки (γ, φ) и ее истинной широтой, рассчитанной на эпоху t.
СООБРАЖЕНИЕ 1. Посмотрим, как соотносится точность широт именных звезд каталога Альмагеста с ценой деления шкалы этого каталога (а именно, 10') в предположении, что глобальных систематических ошибок каталог не содержит. Табл.7.1 включает величины абсолютных широтных невязок всех 12 именных звезд Альмагеста в зависимости от предполагаемой датировки t. В первом столбце после имени звезды указан в скобках ее номер в Альмагесте (номер Байли). Величины широтных невязок даны в дуговых минутах.
Из табл.7.1 видно, что для 7 из 12 именных звезд Альмагеста широтная невязка при всех возможных значениях датировки t превышает границу 10'. В столбцах, соответствующих скалигеровской датировке Альмагеста 100 годом н.э. (якобы эпоха Птолемея) и 200 годом до н.э. (якобы эпоха Гиппарха), обращает на себя внимание прежде всего то, что ошибка в координате Арктура исключительно велика, а именно 30' - 40'. Удивительно, что самую заметную и самую яркую звезду северного полушария неба Птолемей (или Гиппарх) наблюдал существенно хуже всех остальных звезд. Далее, из текста Альмагеста следует, что координаты звезды Регул измерялись при составлении каталога несколько раз и что эта звезда заведомо являлась одной из опорных точек для измерения координат всех остальных звезд каталога. Естественно ожидать, что координаты Регула измерены Птолемеем с максимально возможной точностью и поэтому широтная невязка для нее должна быть меньше 10'. Заметим, что для другой яркой звезды на эклиптике, а именно, для Спики, -- координаты которой Птолемей также измерял отдельно на первоначальном этапе, а затем использовал ее как опорную (см. главу VII.2 Альмагеста [1358]), - широтная невязка не превосходит 5', то есть не превосходит половины цены деления шкалы каталога.
Таблица 7.1.
Учтем теперь систематическую ошибку, найденную нами в Альмагесте, см. главу 6. Так как составляющая γ этой ошибки меняется слабо при изменении даты t от начала нашей эры до средних веков, а к изменению φ картина мало чувствительна, то мы возьмем значения γ0=21', φ0=0. Значение γ0=21' является средним значением γ(t) для t из априорного интервала.
Построим табл.7.2, аналогичную табл.7.1, с той лишь разницей, что при вычислении широтных невязок теперь учитывается и компенсируется систематическая ошибка в координатах всех звезд, которая задается параметрами γ0=21' и φ0=0.
Сравнение табл.7.2 с табл.7.1 показывает, что точностные свойства координат именных звезд Альмагеста после компенсации систематической ошибки резко улучшились сразу при всех возможных датировках. Широты Регула и Спики оказываются измеренными с точностью до 5' при любой предполагаемой датировке от начала нашей эры до позднего средневековья. Это вполне соответствует тому вниманию, которое уделено этим двум звездам в Альмагесте. См. главу VII.2 в издании [1358]. Более того, при датировке в интервале 6 ≤ t ≤ 10, -- то есть от 900 года н.э. до 1300 года н.э., -- невязка по широте для 8 из 12 именных звезд не превосходит 10' -- цены деления шкалы каталога. Это как раз те звезды, которые входят в часть A неба, обнаруженную нами в главе 6 при статистическом анализе всей совокупности звезд каталога Альмагеста.
Таблица 7.2.
Естественно, приведенные рассуждения требуют уточнения.
В частности, необходимо исследовать и другие значения параметров γ и φ. Подробные расчеты и более точные утверждения содержатся ниже в данной главе.
СООБРАЖЕНИЕ 2. Дополнительную информацию о дате составления каталога Альмагеста могут дать следующие соображения. Рассмотрим для каждого момента t и для всех значений γ и φ совокупность широтных невязок Δ Bi(t, γ, φ) некоторого множества E звезд Альмагеста, 1 ≤ i ≤ n. Построим на этой совокупности эмпирические функции распределения ошибки в широте звезд множества E: Ft, γ, φ(x) = (1/n) # {i:|Δ Bi(t, γ, φ)| ≤ x}, где n -- число звезд в множестве E. Сравнивая эти функции распределения между собой при различных значениях t, γ, φ, можно попытаться подобрать такой набор значений этих параметров, при котором ошибки в широте звезд из совокупности E будут наименьшими, в стохастическом смысле. В качестве меры различия ошибок при различных t, γ, φ возьмем среднее значение их разностей. Конечно, имея лишь 12 наблюдений, делать какие-либо количественные выводы мы не можем, поэтому здесь речь пойдет лишь о качественной картине "в первом приближении".
Указанная мера различия наглядно представляется как площадь, заключенная между графиками функций распределения
изображенными на одном чертеже. При этом площадь каждой из областей, заключенных между этими графиками, надо брать с соответствующим знаком, зависящим от того, какая из двух функций ограничивает данную область справа, а какая - слева, рис.7.1.
Рис.7.1. Эмпирические функции распределения ошибок в широтах звезд.
Та функция распределения
которая находится, в среднем, левее остальных функций Ft, γ, φ, отвечает наименьшим ошибкам в широте звезд множества E. Дату t0 и значение систематической ошибки (γ0, φ0) в этом случае естественно рассматривать как приближения для истинной даты наблюдений и реальной систематической ошибки, сделанной наблюдателем.
Проиллюстрируем сказанное на примере другого известного звездного каталога второй половины XVI века -- каталога Тихо Браге. Рассмотрим в качестве информативного ядра набор из 13 именных звезд в каталоге Тихо Браге. Мы вычислили эмпирические функции распределения Ft, γ, φ при γ=φ=0 и трех различных значениях t: t=3 -- то есть для 1600 года н.э., t=3,5 - то есть для 1550 года н.э., и t=4 -- то есть для 1500 года н.э. Результат приведен на рис.7.2.
Рис.7.2. Эмпирические функции распределения для каталога Тихо Браге; оптимальное значение t0=3,5.
Из этого рисунка хорошо видно, что без учета возможной систематической ошибки в каталоге Тихо Браге (γ=φ=0) оптимальной датировкой каталога является эпоха t=3,5, то есть примерно 1550 год н.э. В самом деле, именно при такой датировке каталога, ошибки в широте выбранных 13 именных звезд будут наименьшими, в указанном выше смысле. Дата 1550 год действительно близка к известному времени составления каталога Тихо Браге, а именно, второй половине XVI века.
Приведем список этих 13 звезд из каталога Тихо Браге. В первую очередь, это Регул, Спика, Арктур, Процион, Сириус, Лира = Вега, Капелла, Аквила и Антарес, являющиеся именными звездами также и в Альмагесте. Кроме того, имеются еще четыре звезды: Каф = β Cas, Денебола = β Leo, Поллукс = β Gem и Шиат = β Peg.
Рассмотрим теперь эмпирические функции распределения Ft, γ, φ для множества звезд E, состоящего из 12 именных звезд Альмагеста, см. раздел 1.
Рис.7.3. Эмпирические функции распределения Ft,γ,φ для 12 именных звезд Альмагеста. Значение φ всюду равно нулю.
На рис.7.3 приведены графики этих функций для t=5 -- то есть для 1400 года н.э., t=10 -- то есть для 900 года н.э., t=18 -- то есть для 100 года н.э. и t=20 -- то есть для 100 года до н.э., при различных γ. Значение φ везде взято равным нулю, поскольку к изменению φ картина мало чувствительна. Значения t=10, то есть 900 год н.э., и γ=21' являются оптимальными, то есть, приводят к наименьшим ошибкам.
Полученная картина поведения графиков Ft, γ, φ для Альмагеста мало чувствительна к изменениям в составе именных звезд. Приведем для сравнения эмпирические функции распределения для использованных в примере с каталогом Тихо Браге 13 звезд, взяв на этот раз их координаты из Альмагеста, рис.7.4.
Рис.7.4. Эмпирические функции распределения для Альмагеста по 13 ярким именным звездам при t=1, 5, 10, 15, 20. Сплошные линии: γ=21; штриховые линии: γ=0.
Значения t=10, γ=21' остаются оптимальными и для этого списка звезд. На рис.7.4 отчетливо проявляется разница между значениями γ=21' и γ=0, уже отмеченная выше, а именно, вся совокупность графиков, соответствующих значению γ=21', лежит левее, -- и, следовательно, отвечает меньшим ошибкам, -- чем совокупность графиков при γ=0. Другими словами, значение γ=21' "лучше", чем γ=0, при всех датах t из априорного интервала.
СООБРАЖЕНИЕ 3. В заключение обсудим вопрос о возможности расширения списка именных звезд Альмагеста, как основы для датировки по собственным движениям. Но так, чтобы точностные свойства координат (или хотя бы только широт) расширенного списка звезд не ухудшались. На первый взгляд естественно взять в качестве такого расширения список всех звезд, получивших к настоящему времени собственные имена, табл.П1.2 (или табл.П1.3) в Приложении 1. Имена звездам давали, в основном, в средние века, но продолжали делать это и в XVII--XIX веках. Не исключено, что многие из них имели особое значение для составителя каталога Альмагеста. Далее, мы выберем из списка в табл.П1.2 в Приложении 1 не все звезды, а лишь те, имена которых набраны в [1197] большими буквами. Мы сохранили это выделение большими буквами и в нашей табл.П1.2 в Приложении 1. Большими буквами в [1197] набраны наиболее знаменитые из именных звезд. Таких звезд оказалось 37. Они перечислены в табл.7.3.
Оказалось, однако, что такое расширение информативного ядра Альмагеста резко ухудшает точность координат выборки. И что особенно важно, ухудшается точность широт. Рассмотрим "расширенное ядро", состоящее из 37 звезд Альмагеста, перечисленных в табл.7.3.
Таблица 7.3.
Вычислялось минимальное значение среднеквадратичного отклонения по указанным вариациям параметров γ и β. Из получившегося графика хорошо видно, что минимум хотя и достигается около 400 года н.э., но выражен исключительно слабо. Минимальное значение среднеквадратичной невязки составляет около 18 минут. Если мы допустим вариацию этого значения в пределах 2 минут, то есть всего на 10%, то получаем интервал "датировок" длиной в 1800 лет (!) от 600 года до н.э. до 1200 года н.э. Совершенно ясно, что этот результат неинтересен. Причина очевидна -- в рассматриваемом списке 37 звезд средняя точность измерений Птолемеем слишком низка. Она явно недостаточна для датировки каталога по собственным движениям в этой группе звезд. Причем, такая размытая картина получается при анализе широт, которые в каталоге Альмагеста, как мы знаем, более точны, чем долготы. По долготам картина становится еще более размытой.
На рис.7.6, рис.7.7 приведены графики зависимости от предполагаемой датировки Альмагеста количества звезд из "расширенного ядра", расчетная ошибка которых по широте не превышает, соответственно, 10 и 20 минут. Ошибка рассчитывалась после компенсации систематической ошибки γ = 20'. На обоих графиках наблюдаются колебания вокруг приблизительно постоянного значения на всем рассматриваемом интервале времени. В 10-минутную окрестность по широте в разные годы попадает от трех до тринадцати звезд. В 20-минутную окрестность попадает от 11 до 16 звезд. Никакой надежной информации о наиболее вероятной датировке каталога из этих графиков извлечь не удается.
Рис.7.6. По вертикальной оси -- количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (табл.7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 10 минут. Вдоль горизонтальной оси -- предполагаемая датировка каталога Альмагеста.
Рис.7.7. По вертикальной оси -- количество звезд из списка 37 звезд Альмагеста (табл.7.3), для которых отклонение по широте не превосходит 20 минут. Вдоль горизонтальной оси -- предполагаемая датировка каталога Альмагеста.
На рис.7.8 мы приводим график зависимости среднеквадратичной невязки,
Рис.7.8. Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл.7.3, и имеющим не более чем 30-минутное отклонение по широте при данной предполагаемой датировке. График построен как функция предполагаемой датировки Альмагеста. При подсчете отклонения компенсировалась систематическая ошибка γ каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям γ = γstat± 5'; β=0± 30'.
аналогичной графику на рис.7.5.
Рис.7.5. Среднеквадратичное отклонение по 37 звездам Альмагеста, перечисленным в табл.7.3, как функция предполагаемой датировки. При подсчете отклонения компенсировалась обнаруженная нами систематическая ошибка γ каталога Альмагеста. Кроме того, искомое среднеквадратичное отклонение минимизировалось по вариациям γ = γstat± 5'; β=0± 30'.
Однако на сей раз при подсчете невязки учитывались лишь те звезды, которые при данной предполагаемой датировке Альмагеста получили отклонение по широте менее 30 минут. Видно, что график состоит из кусков пологих парабол. Они имеют минимумы в разные годы на оси времени. Это означает, что в различных частях списка из 37 звезд соответствующие параболы имеют точки минимума, разбросанные по всему историческому интервалу. Обнаружившаяся неустойчивость точек минимума говорит о низкой точности датировки таким способом. Дело в том, что точки минимума многих парабол лежат далеко от истинной даты составления каталога. Поэтому при изменении состава звезд, эти минимумы хаотично распределяются по всему историческому интервалу.
В целом график на рис.7.8 имеет исключительно слабо выраженный минимум в районе 700--1600 годов н.э. Для надежной датировки он непригоден.
Мы рассматривали также и другие возможности расширения информативного ядра Альмагеста. Например, на основе яркости звезд. Почти все они привели к резкому ухудшению точности координат звезд и к практическому исчезновению зависимости характеристик расширенной совокупности от датировки наблюдений. Однако выяснилось, что информативное ядро все-таки допускает естественное расширение без значительного падения точности. Этот вопрос подробно обсуждается ниже.
Друзья! Кому уж не терпится ждать продолжения, то, данную книгу В.В.Калашникова, Г.В.Носовского, А.Т.Фоменко "ЗВЕЗДЫ СВИДЕТЕЛЬСТВУЮТ". Астрономический анализ хронологии. Датировка Альмагеста Птолемея. Коперник, Тихо Браге и "античный" Гиппарх , можете купить в книжных магазинах или на официальном сайте http://www.chronologia.org/ НОВАЯ ХРОНОЛОГИЯ.
Обложка книги к изданию 2012 г.
#звездысвидетельствуют
Следующая публикация
Нет комментариев