Александр Канторов родился в семье музыкантов: отец — Жан-Жак Канторов — французский скрипач и дирижёр, мать — скрипачка.

Когда Александру было 2 года, семья переехала в пригород Парижа Монморанси.[3]
Александр начал занятия фортепиано в возрасте 5 лет в Консерватории Сержи-Понтуаз с Dominique Kim (в чьем классе занимался до восьми лет). Следующие три года обучался в Консерватории 10-го округа Парижа (Консерватории им. Гектора Берлиоза). В 11 лет начал обучение у Пьера Алена Волонда, в 1983 году ставшего лауреатом Международного конкурса имени Королевы Елизаветы. Продолжил занятия в Schola Cantorum у Игоря Лазько, затем в Парижской консерватории у Фрэнка Брэйли и Haruko Ueda. В настоящее время обучается во французской частной консерватории École normale de musique de Paris в Париже в классе Рены Шерешевской.
В 2019 году получил Первую премию, золотую медаль и Гран-При XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского, в финале исполнив Второй концерт для фортепиано с оркестром Чайковского и Второй концерт для фортепиано с оркестром Брамса. Стал первым французом в истории конкурса Чайковского, одержавшим на нём победу.