В последних выпусках догоняющей математики мы подробно обсудили, как нужно действовать ученикам в старшей и средней школе, если они хотят освоить счёт в пределах сотни. Но почему вообще возникает необходимость в подобных советах? Как так получилось, что огромное количество школьников не владеют арифметикой уровня 2-3 класса? Отвечая на эти вопросы, обычно просто ссылаются на общее падение уровня образования. Кто-то пытается разобраться, в чём причины этого падения. И здесь уже вспоминают про дефицит педагогов, про бумажную нагрузку, про дистант, про бессмысленные школьные мероприятия, про низкую зарплату и пр. Это всё серьезные причины снижения качества образования. Учителя просто не успевают нормально выполнять свою работу. Однако, в то же время у многих болеющих за образование людей возникает иллюзия, что решение лежит на поверхности: что для исправления ситуации достаточно просто повысить зарплаты учителям, снизить бумажную нагрузку, поднять престиж профессии и пр. В общем, если сделать так, чтобы учителя имели возможность спокойно преподавать, то вот тогда-то дети точно не будут путаться в элементарных вычислениях. Однако, проблема глубже, чем кажется на первый взгляд. На самом деле школьники не умеют считать, потому что их просто не учат этому. Это может показаться на первый взгляд странным. Ведь школа худо-бедно, но даёт какие-то навыки счёта. Но если посмотреть повнимательнее современные школьные программы, то можно убедиться, что в них делают всё, кроме самого главного – обучения детей арифметике. Давайте разберёмся, чему же на самом деле хотят научить наших детей составители программ. Для примера возьмем два популярных методических комплекса: Л.Петерсон и Э.Александровой. Учебники первой интересный тем, что являются одними из самых противоречивых. Одни считают их гениальными, думая, что через них дети быстрее постигнут "настоящую" математику. Другие считают, что задания в этих пособиях бессистемны и непонятны. Пособия Э.Александровой же стоит рассмотреть хотя бы для того, чтобы понять, что такое развивающее обучение и как оно работает в математике начальной школы. Эти учебники принадлежат системе Эльконина-Давыдова, которые в свою очередь являются авторами теории развивающего обучения (ТРО). Именно на их идеях основан современный ФГОС. Итак, давайте начнём с учебников Петерсон. Многим родителям они не нравятся, так как задания кажутся бессистемными и сложными для детского возраста. Но всё же надо признать, что обвинения в хаотичности немного поверхностны. В основе этих учебников есть много идей, которые автор последовательно пытается через свои задания донести до детей. Другое дело, что сами эти идеи очень и очень спорные. Попробуем коротко их описать. Главный упор всей линейки делается на теоретико-множественный подход. То есть по мнению автора этих учебников суть математики – это операции над множествами. И нужно как можно быстрее перейти к работе со множествами на формальном уровне. А чтобы детей приучить к действиям над множествами, всё подспудно сводят к этим математическим объектам. Тем самым задания, которые кажутся нам разношёрстными, на самом деле заточены именно под эту задачу. Так, например, многочисленные задачи на соотношение части и целого нужны, чтобы перейти к таким математическим сущностями, как множество и подмножество. Или тема сложения и вычитания. Мы привыкли, что эти арифметические действия вводятся через отсчитывание или присчитывание отдельно стоящих предметов. Но у Петерсон они вводятся в более абстрактной форме – как разность и объединение множеств. Причем эти множества разноплановы: буквы, отрезки, плоские фигуры и пр. И обратите внимание, это всё идёт в самом начале. Сложение и вычитание в таком виде даётся до того, как дети познакомились с числами. А до этого детей учат качественным отличиям предметов. Тоже вроде кажется разумным. Школьники учатся понимать, что у предметов есть разные свойства. Но опять же это сделано лишь для того, чтобы перейти к подмножествам предметов. В начале же про числа нет никакой речи. Школьников приучают к правилам подобной игры. В ней, например, ПИЛА и ЛИПА оказываются равны, т.к. это не последовательности букв, а их совокупности. И после пятнадцати занятий школьникам, наконец, рассказывают про числа и цифры. Но как! В классической методике мы просто соотносим число 1 с отдельно стоящим предметом. Число 2 с парой отдельных предметов и т.д. У Петерсон всё не так. Цитирую как в методических материалах к учебнику вводится число 1: «Общее свойство у всех мешков, которые содержат по одному предмету, называется один». [1, c.68] Здесь мы снова видим очевидный заход через теорию множеств: единица сопоставляется со всеми множествами, которые содержат один элемент. Далее число 2 - это общее свойство групп содержащих по два предмета, число 3 - это общее свойство групп содержащих по три предмета. И так по всем числам до десяти. Сам счёт трансформируется тоже лишь для того, чтобы на нём объяснить детям какие-то принципы из теории множеств. Например, присчитывание и отсчитывание выполняются с помощью отрезков, а не с помощью единиц (отдельных однородных предметов). А сравнение чисел производится через взаимно-однозначное соответствие: дети строят пары из элементов множеств, если что-то осталось лишним без пары, то такое множество больше. Казалось бы, какая разница: через теорию множеств или как-то более классическим способом учить детей? Но какую вы сформируете базу, на том вы и будете строить обучение в дальнейшем. И счет тоже будет ставится с учётом заложенного фундамента. Например, простая задача для первого класса: У Маши 2 тетради, у Пети 3 тетради. Сколько всего у них тетрадей? У Петерсон эта задача решается так. Дети рисуют схему, на которой даны два отрезка вместе. Подписывают их цифрами. И подписывают цифрой объединение этих отрезков. [1,c. 105] Можно было бы понять, если это сделано для расстояний (и то нежелательно всегда рисовать для этого схему), то для счётных задач на единичные предметы такой подход вреден. Теперь посмотрим, как происходит обучение детей сложению вне пределов 10. Сложение через десяток ведётся через поиск закономерностей в таблице сложения. То есть сначала рисуется определенная табличка. В ней заполняются известные числа, а потом школьники с помощью учителя догадываются, как дальше нужно заполнять её. И вместо того, чтобы соотносить арифметические действия с реальными операциями над объектами, школьникам неявно показывают, что счёт содержит в себе элементы загадочности. Но наиболее ярко дефекты постановки навыков счёта проявляются в сложении/вычитании двузначных чисел. Пропустим тот факт, что чуть раньше умножение вводится как укрупнение единиц счёта (?) и факт, что оперирование с десятками происходит через графические модели (вместо десятка реальных единичных предметов, школьники оперируют треугольниками). Приведём цитату из описания к уроку во 2 классе [2, c. 49]: «На индивидуальных листках у детей записаны примеры: 32 + 7 = ; 52 + 17 = ; 48 – 14 = ; 96 – 20 = ; 29 – 21 = ; 73 + 25 = ; Учитель предлагает детям решить их, используя любой из изученных приемов, но как можно быстрее. Побеждают в игре первые трое, кто решит все примеры правильно. В завершение этапа актуализации знаний фиксируется неудобство известных способов записи примеров с точки зрения скорости вычислений. Например, можно спросить ребят: — Кто из вас рисовал графические модели, числовой отрезок? (Никто.) — Почему? (Это слишком долго.) — А можно ли упростить запись этих примеров, чтобы быстрее и удобнее было считать? Вероятно, мнения детей разделятся. При постановке проблемы учащиеся должны догадаться, что в записи, которую мы используем, считать тем удобнее, чем ближе друг к другу записаны десятки обоих чисел и единицы этих чисел. После этого ставится цель: придумать такую запись примеров, чтобы десятки одного числа находились поближе к десяткам другого числа, а единицы — к единицам. Тема остается прежней: «Сложение и вычитание двузначных чисел». Для открытия нового знания учитель использует подводящий диалог. — Итак, какой способ записи примеров нам нужно найти? (Чтобы десятки располагались как можно ближе к десяткам, а единицы — к единицам.) — Попробуйте найти свой вариант такой записи, например, для суммы 52 + 17. Учащиеся выходят к доске со своими вариантами. Если сразу они не догадаются записать в столбик, можно их спросить: — А поближе расположить цифры никак нельзя? В конце концов кто-либо из детей предложит обычную запись в столбик — Молодец, научил нас такой удобной записи: единицы и десятки стоят теперь рядом, можно быстро считать и никак не запутаешься. Эту запись часто используют в вычислениях и называют записью «в столбик». Итак, целесообразность записи в столбик заключается в том, чтобы расположить цифры одинаковых разрядов поближе друг к другу. В результате беседы учащиеся должны четко это осознать.» То есть уже во втором классе детей целенаправленно приучают к сложению в столбик двузначных чисел! Причём учат считать столбиком на примерах, которые не требуют перехода через десяток. Хотя их нужно считать только устно и по другой схеме, сохраняя понятие десятка как пучка из десяти отдельных объектов. В итоге ученики думают, что «сложить в уме» означает «представить в голове столбик и сложить». Тем самым даже простые примеры, вроде 235+446 потребуют от них значительных усилий, хотя при правильно поставленном устном счёте они должны решаться с лёту. Другой дефект постановки навыка счёта в этом УМК раскрывается при изучении таблицы умножения. Авторы настольно увлекаются и увлекают детей поиском закономерностей, что прежде, чем хорошо проработать действие умножения и прежде, чем закрепить его через решение текстовых задач, они сразу дают детям таблицу умножения и делают упор именно на неё. У детей формируется деформированное представление об умножении, как о действии, результат которого можно в первую очередь посмотреть в таблице. Ну и вишенка на торте – то, как автор учит умножать школьников на 9. Цитата из учебника (2 класс, 3 часть, урок 11, стр. 33: «Положи обе руки на стол и запомни номера пальцев. Чтобы умножить число на 9, можно найти палец с таким же номером и сосчитать, сколько пальцев слева и справа от него. Число пальцев слева показывает цифру десятков, а справа – цифру единиц произведения». Рядом с этим «гениальным» методом умножения весьма показательно нарисован клоун. К сожалению, это настолько вредный способ, что часть учеников даже в старших классах именно так вспоминает умножение на 9… Об учебниках математики в системе Эльконина-Давыдова мы поговорим в следующий раз. [1] Людмила Петерсон: Математика. 1 класс. Методические рекомендации к учебному пособию. ФГОС. [2] Людмила Петерсон: Математика. 2 класс. Методические рекомендации к учебному пособию. ФГОС. Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5d7b0f991ee34f00ac847673/pochemu-shkolniki-ne-umeiut-schitat-primer-uchebnikov-peterson-6232e4334d32b3029bbfcb3f