В прошлый раз мы коротко поговорили о колмогоровской реформе и её катастрофических последствиях для преподавания математики. Теперь вернёмся в наше время. Есть ли какие-то параллели между провалами прошлых лет и тем, что сейчас происходит в школьном математическом образовании? Удивительно, но многие идеи тех реформ процветают и в наше время. Например, рассмотрим, казалось бы, совершенно стороннюю тему: популярную среди некоторых педагогов теорию развивающего обучения. Если не смотреть на внешние её элементы, которые прикрываются словами о гуманизации и об умении мыслить, а взглянуть на содержание того, что преподают, то можно заметить знакомые сюжеты. Например, математическая программа развивающего обучения в редакции Эльконина-Давыдова строится именно по заветам Колмогорова. Долой арифметику и устный счёт! Наши дети должны учиться мыслить, а не выполнять действия по образцу! Даёшь теоретическое мышление в научных понятиях сразу с первого класса! Главной целью математики почему-то объявляется знакомство школьников с абстрактным понятием числа. Причём дети должны не просто его уяснить, а построить (!) это понятие через мерки (!!). Деятельностный подход, всё-таки. А учить считать не нужно – пусть это делает калькулятор. Недалеко ушла и развивающая математика от Петерсон, в которой тоже всё завязано на теоретико-множественном подходе и первоочередном изучении языка математики… Сразу небольшое пояснение. Сама теория множеств в школьном объеме вроде тривиальна (и даже безобидна, если не пробовать на нее опираться). Но она требует особой логической привычки, которая, в свою очередь, развивается постепенно, начиная с арифметики и простых текстовых задач. И особенно хорошо эта привычка вырабатывается в классическом курсе геометрии (кстати, на примере задач на построение, которым сейчас уделяют незаслуженно мало внимания; их же нет в ОГЭ…). Обсуждение такого весьма общего и неосязаемого понятия как множество и искусственные задачи, знакомящие маленьких детей с ним, едва ли будут восприниматься большинством школьников. Без хорошей математической культуры школьник не сможет вполне понять теорию множеств. Да, он будет рисовать круги Эйлера и группировать предметы по признакам. Да, в 6 классе может научиться жонглировать кванторами. Но если дать слишком рано подобные отвлечённые абстракции без соответствующего предметного фундамента, то у детей сложится весьма превратное понимание математики, как науки, оторванной от реального мира. Процитирую уже знакомую нам статью академика Понтрягина [1]: «Абстрактность математики — производное, следствие ее специфической природы, а не наоборот; абстракция есть логический акт, производный от содержательной деятельности; "форма как таковая" есть определенная содержательная предметная деятельность, состоящая в воспроизведении стороны предметов, явлений, процессов объективного мира (!); рассмотрение ее "самой по себе", вне этой предметной деятельности приводит в конце концов к отождествлению предмета науки с ее "языком", то есть к соскальзыванию в идеализм, в метафизику. Отождествление предмета теории с ее формальным аппаратом приводит к тому, что математика — в представлениях горе-философов — вырождается в лингвистику (подобно тому, как аналогичная тенденция приводит теоретическую лингвистику, наоборот, к отождествлению с математикой).» Но тема высокого научного уровня, а также обсуждение вредоносного эффекта от развивающего обучения требуют отдельной серии статей. А пока же вернёмся к нашей главной теме… Следующая параллель, которую можно провести с сегодняшним днём, кроется в характере деятельности людей, которые претворяли в жизнь колмогоровскую реформу. Её авторы были не только выдающимися математиками, но и блестящими популяризаторами науки. Их книги с объяснением актуальных математических вопросов до сих пор являются непревзойденными образцами школьной литературы. Возможно, что именно в 50-60 годах была вершина развития факультативной математики. Но потом те же люди, видя успех подобной дополнительной математики, захотели внедрить её элементы в школу. И вот это было напрасно. Дело в том, что сложная факультативная математика полезна школьникам при двух условиях: а) крепко усвоенной стабильной школьной программе, б) необязательности этих дополнительных знаний. Первый пункт нужен, чтобы была основа для понимания сложных вещей. Второй – для спонтанности обучения. Заинтересованный школьник скорее прочтёт книгу по дополнительной математике и с гораздо большим вниманием, если её не будет в обязательной программе. Но как только вы внедряете очень сложные и специфические элементы в общую школьную программу, то это в принципе отбивает охоту к факультативам и у учеников, и у учителей. Школьники смогут, конечно, как-то выучить высоконаучное определение вектора из колмогоровских учебников без понимания его сути и даже на оценку рассказать его, но это навсегда отвернет их от живой науки (хотя в качестве дополнительного пособия и в качестве альтернативного взгляда на геометрию учебник Колмогорова это отличная книга!). Теперь посмотрим на текущее положение. По факту, содержанием математического образования сейчас управляет команда Ященко. Они действительно хороши в популяризации математики и работе с отдельными сильными школьниками. Их МЦНМО издает замечательные пособия для факультативов, сравнимые по качеству с пособиями полувековой давности. Но как только они начинают лезть грязными руками в общую программу, используя рычаг Рособрнадзора (через внедрение соответствующих задач в ЕГЭ и ОГЭ, а также управляя их разбалловкой), получается схожая ситуация с провальной колмогоровской реформой. Свежий пример – усиление роли теории вероятностей в школьной программе за счёт того, что с этого года в ЕГЭ теперь будут две задачи по этой теме (одна из них будет довольно сложной). И казалось бы, да какая разница? Пусть будет еще одна задача по довольно продвинутой теме (Ященко любит выражения «красивая» и «содержательная» математика). Но дьявол кроется в деталях. Теория вероятностей довольно сложная дисциплина. К примеру, на мехмате на потоке математиков она преподаётся в 4 семестре, а на потоке механиков – на 4 курсе. Эта область математики стала по-настоящему научной только после того, как всё тот же Колмогоров смог выстроить её аксиоматику. И чтобы её понять нужно много нетривиальных подготовительных знаний вроде хорошо усвоенной теории меры. И конечно, нужно хорошее знание и понимание теории множеств. И поэтому именно на теорию множеств постепенно делается упор в школе. То есть сразу пытаются вводить её неподготовленным детям (а потом смело вводят такие сложные понятия теории вероятностей как пространство элементарных событий). И как бы забывают, что научной теории вероятностей (которая имеет дело, грубо говоря, с «непрерывными» объектами) должна предшествовать её дискретная часть – комбинаторика. А эта дисциплина в свою очередь довольно непроста для преподавания… В том числе и потому, что если вы не научите детей решать стандартные текстовые задачи, они не смогут проводить эффективный перебор вариантов. Причем важно решать текстовые задачи не сразу алгебраическим путём, а поначалу именно арифметическим, потому что именно так лучше выстраивается в голове математическая модель. К слову, научные интересы Ященко как раз находятся в области теории множеств [2]. Другой интересный вопрос – это то, как было обставлено внедрение дополнительной задачи по теории вероятностей. Сначала выкатили на всеобщее обозрение проект экзамена. В нём было два главных нововведения: упомянутая сложная теория вероятностей и комплексные числа. Первое нововведение – целевое. Второе призвано оттенить целевое. Учителя, увидев проект ЕГЭ, накинулись именно на комплексные числа. В итоге составители сказали: «Так уж и быть, уберём…». Но теория вероятностей-то осталась! И когда сообщество попривыкнет, можно через пару-тройку лет ещё раз попробовать внедрить комплексные числа, в паре с какой-нибудь откровенно абсурдной вещью. Например, в качестве бреда ввести топологию с завязыванием узлов, обосновав, что это нужно походникам и морякам. Получается довольно рабочая схема: испугать всех несколькими нововведениями, потом откатить часть из них и оставить целевое. С топологией я, конечно, утрирую. Это большая часть математики, но она не так богата задачами, доступными для школьников. Но будьте уверены, на теории вероятностей и комплексных числах они не остановятся. Не верите? Посмотрите выступление ректора ВШЭ с последнего съезда учителей [3]. Он про теорию вероятностей и комплексные числа говорит как о решенном деле. И предлагает ввести в школу элементы линейной алгебры и теории матриц, выделив под это средства. Лет через пять ждите новый проект ЕГЭ и готовьтесь к задачам на определители и на перемножение матриц. Кажется, что это какой-то фантастический сценарий. Но вернитесь назад и вспомните первую задачу по теории вероятностей. Вокруг неё тоже были споры… Так как она была несложной и в принципе сильно не влияла на общий характер обучения в школе, то с ней смирились. Однако, эта задача сработала как нога в лифте. Теперь окно Овертона расширено. Одно из обоснований текущих нововведений такое: дети просто нарешивают какие-то типовые задания и не понимают глубины содержательной части теории вероятностей. Так давайте ещё одну задачу на ЕГЭ туда выделим! А на математике сделаем дополнительный час в неделю под это дело. Следующий момент – то, как технически проводится изменение содержания образования. Если напрямую вносить изменения в задания ЕГЭ, то это может вызвать волну возмущения учителей. Однако, всё делается тоньше. Есть известный московский проект Математическая вертикаль. Позиционируется он как единый методический кабинет для классов с углубленной математикой. Однако, в реальности это просто удобный полигон для отработки каких-то новых идей по изменению программы. Просто так внедрить теорию вероятностей в ЕГЭ сразу не получится. А с Матвертикалью можно делать что угодно. Пусть в московском регионе учителя сперва привыкнут к тому, что в углубленную программу добавили ещё теории вероятностей, а потом уже можно остальным навязывать своё видение. А вообще очень интересно проследить, как будет меняться программа этого проекта. Как там с комплексными числами? А матрицы с узлами ещё не изучают? В итоге Матвертикаль взаимно завязывается на ЕГЭ. Так как там изучают теорию вероятностей, то это внедряют на экзаменах. Так как внедрили – матвертикальные ученики лучше сдают и показывают высокие баллы. Рейтинг соответствующих школ увеличивается. Матвертикаль отчитывается о повышении/углублении/расширении/улучшении и просит большего финансирования. Открываются новые классы и изменяется программа. Круг замыкается… И это закономерный процесс. Если вы делаете единую программу для факультативных занятий, если вы выбиваете под неё финансирование, то следующий шаг будет внедрение её частей в общешкольную программу через рычаг экзаменов. Но что странно, так это удивительное единодушие экспертов по этому поводу (см. опять же недавний съезд учителей в Сириусе). Никто из выступающих не возразил против внедрения теории вероятностей. А единственную сессию, которая предполагала активную работу с залом (тема – изменения ОГЭ/ЕГЭ этого года), канал Сириуса стыдливо не выложил… Как видите, заданный Колмогоровым тренд на спуск элементов высшей математики в школу сохраняется. И тут надо учитывать три следствия. Первое. Если вы планируете что-то добавить, то автоматически придётся что-то убрать. И под нож идут элементы обычной школьной программы, чаще всего из алгебры. В первую очередь это касается так называемых технических навыков. Вместо того, чтобы развивать у школьников навыки тех же самых алгебраических преобразований, нам говорят, что это не нужно, что это скучно, что не надо делать из детей роботов, что это может сделать компьютер (см. интервью Семенова [4]), что это не настоящая математика, что там нет ничего содержательного и другие благоглупости, которые можно подать методически безграмотным людям. И что правильнее в школьную математику запихнуть что-то математически более красивое. Вместо того чтобы защищать нормальное построение математического программы, идут заигрывания с какими-то современными абсурдными веяниями. Мол, вот мы какие, мы глубже внедрили теорию вероятностей, чтобы дети научились справляться с вызовами времени. Мы уже вовсю преадаптируем детей к вашей любимой неопределённости, не ругайте нас, уважаемые асмоловы… Второе. Урезание технической составляющей школьной программы не бесконечно. Есть некий минимум, который не убирают даже самые радикальные реформаторы. Приходится откусывать части от других разделов, в том числе и от нововведённых. Также нужно учесть, что спускаемые вниз различные темы высшей математики имеют некую самостоятельность и не зависят друг от друга. То есть если вы не научились работать со сложными функциями, это никак не повлияет на вашу способность посчитать определитель матрицы. В купе с тем, что фундамент основной математики размыт, все эти разделы изучаются поверхностно. И теперь массово изучаются даже не на операциональном уровне (который может быть довольно широк), а на уровне конкретных типов задач из соответствующих сборников. Можно легко проследить девальвацию подобных заданий на примере экономической задачи в ЕГЭ. Подготовка к ней выродилась в нарешивание 5-6 стандартных типов задач. К слову, составители признали свой провал и теперь баллы за эту задачу снижены; но убрать её или видоизменить смелости пока не хватает. В общем, не нужно быть пророком, чтобы увидеть, что то же самое произойдёт со сложной теорией вероятностей и другими подобными элементами высшей математики. Третье. К сожалению, обычную школьную математику уже разучиваются системно преподавать. А вот такие маленькие калейдоскопные кусочки – легко. Алгебра и классическая геометрия слишком большие и требуют последовательного изучения. Там ошибки в методике критичны и слишком заметны: не поняли разложение на множители – не научились решать квадратные уравнения – не можете справится с дробно-рациональными неравенствами – ненавидите математику. Поэтому, чтобы сохранить видимость обучения, тянут в школу разный матан на уровне «вы просто отработайте вот эти задачи и напишите их на экзамене». Из написанного выше может сложится впечатление, что основы анализа в школе не нужны. Это не совсем так. Например, всеми любимый Киселев написал учебник в том числе и по основам анализа. Да и тот факт, что школьники не понимают до конца в старших классах предел, производную или интеграл, не так страшен – с ними останутся навыки подсчёта той же производной. Это нужно как для исследования функций, так пригодится и потом для вуза. И думаю те же физики тоже будут скорее за производную в школьном курсе, так как умение её использовать сильно помогает в понимании некоторых формул. Проблема возникает тогда, когда математики пытаются так перестроить школьный курс, чтобы к концу 11 класса ученики были готовы понимать строгое определение предела и производной или аксиоматику теории вероятностей. Для этого приходится перетряхивать весь курс и возводить его на других основаниях. Нет понимания, что такая строгость нужна исключительно в математике, а физикам не сдались какие-нибудь всюду разрывные функции. И другой вопрос, который должны были задать уже вузовские преподаватели: а почему то, что должны понять все школьники, с такими трудами и с такими затратами времени идет в хороших вузах со старательно отобранными студентами... Другой аспект этой проблемы в том, что высшая математика очень своеобразна. Она кажется однородной и принятой всеми. Однако, в ней есть разные школы и направления, которые по-своему трактуют, что есть настоящая математика. Не буду вдаваться в подробности (интересующиеся могут прочесть про деятельность бурбакистов, про утрату определенности [5] и в целом про философские проблемы математики [6]). Но даже на одном факультете вуза могут преподавать разную математику. На мехмате в начале нулевых на двух потоках читали принципиально отличающиеся курсы математического анализа. На одном спокойно интегрировали по Риману и Лебегу, на другом интегрировали по Курцвейлю-Хенстоку и доказывали теоремы через пределы по базе множеств. Можете представить, какой шок испытывают вчерашние абитуриенты, которых сразу атакуют современной наукой с неклассическим её изложением. [7] Об этом писал Неретин (но правда касательно реформы Колмогорова), на которого мы ссылались в прошлой записи: «Схожая ситуация, как ни странно, есть и в высших учебных заведениях. Многие вузовские курсы математиков (иногда будучи не лишенными достоинств), не рассчитаны ни на какого живого человека. Они в своем роде совсем просты: если отучиться на мехмате МГУ, то в курсе всё просто и ясно, а если не отучиться - то понять его нельзя, потому как там опущены некоторые необходимые для понимания куски и потому что туда напихано много ненужных украшательств. Думаю, многие, учившиеся в институтах и университетах в последние лет 40, с этим сталкивались. Комплект школьных учебников эпохи Колмогорова был одним из ранних образцов "курсов ни для кого".» [8] Да и вообще отношение вузовского сообщества к школьной программе доходит до абсурда. В школу спускают элементы высшей математики, максимально размывая стандартную программу, а потом ругаются на слабые знания и на отсутствие базовых навыков у студентов. В итоге вузы массово вводят на первом курсе дополнительные занятия по обычной школьной математике, так как ученики не умеют складывать алгебраические дроби. И чтобы как-то завершить тему высшей математики и школы, давайте остановимся на вопросах, над которыми почему-то мало кто задумывается. А почему вообще содержанием матобразования заведуют именно математики из элитно-математической тусовки? Почему школьная математика превращается в математическое образование для школьников? Почему её мыслят как профессиональное математическое образование, которое постепенно по кусочкам преподают школьникам? Почему не считаются с тем, как математику используют и другие школьные дисциплины? Например, для школьной физики нужна совершенно другая часть математики. То, что из школьной математики убирают технические навыки, бьёт в первую очередь по преподаванию физики. Посетите любое школьное занятие. Посмотрите, как учителя физики вынуждены выкручиваться, когда их подопечные не умеют решать буквенные уравнения и не владеют навыком тождественных преобразований, а умеют решать лишь линейные уравнения, да и то только в целых числах в пределах двадцати. Для химиков важны текстовые задачи (опять же решаемые арифметическим методом). Иначе они будут использовать кустарные методы. Я сам как-то видел, как коллега-химик своим ученикам придумал «метод слона» для решения задачи на смеси, сплавы и растворы. Не спрашивайте, в чём суть метода – помню лишь то, что он как-то записывал несколько уравнений, обводил их кругами и это было похоже на слона… А масштабы для географии? Это же тема, напрямую завязанная на математике. Про начальную школы и говорить нечего. Там математика наряду с родным языком является в первую очередь мировоззренческим предметом… Сюда добавляется и конкуренция между преподавателями… «Зачем давать то, чего нет у меня на ЕГЭ?», «зачем решать уравнения через другие буквы и другие оси координат ведь на ОГЭ есть только иксы и игреки» и проч. Но давайте пока прервёмся. Такое топорное внедрение высшей математики в школе не могло не породить противоположное явление. Так на свет появился очередной уродец – «математика для жизни». Вот о ней поговорим в следующий раз. (продолжение вот здесь: https://ok.ru/proektnuzh/topic/153967521056837) [1] Понтрягин Л.С. О математике и качестве её преподавания. https://www.mccme.ru/edu/statii/kommunist.htm [2] Ященко, Иван Валериевич. Материал из Википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/Ященко,_Иван_Валериевич [3] Всероссийский съезд учителей математики. Пленарная сессия https://youtu.be/4RanP-_1P_A?t=4154 [4] «Школа игнорирует цифровые технологии или даже противостоит им» https://www.kommersant.ru/doc/4964791 [5] Морис Клайн: Математика. Утрата определенности https://www.labirint.ru/books/145539/ [6] Яшин Б. Л. Философские проблемы математики. История и современность. Монография https://www.ozon.ru/product/filosofskie-problemy-matematiki-istoriya-i-sovremennost-monografiya-yashin-boris-leonidovich-201197416 [7] Математический анализ. Лекция 10. http://vyshka.math.ru/pspdf/0910/calculus-1/l10.pdf. [8] Записки по истории Колмогоровской реформы школьной математики https://mat.univie.ac.at/~neretin/misc/reform/reforma1965.html Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5d7b0f991ee34f00ac847673/chetyre-shkolnye-matematiki-chast-7-ege2022-prodoljenie-degradacii-6190976f9a5df961767f5f96