Манжеты - французское слово.

Во французском звучит как "маншет" (manchette), известно с 16 века и является уменьшительным от manche (рукав).
Про пролив Ламанш все слышали.
Англичане не согласны, зовут его Английским каналом (English Channel), что заведомо проигрышно и длинно - два слова всё таки.
Любопытно, что слово manche если в женском роде, то означает тот самый рукав или пролив, а если в мужском, то - рукоятку ножа. Одно французское выражение:
Comme un couteau sans lame dont оn a perdu la manche
Как ножик без лезвия, у которого утеряна рукоятка.
Во французском, как и в русском, засучивают рукава рубашки, чтобы хорошо потрудиться:
Être, se mettre en manches (ou en bras) de chemise.
Для того, чтобы удержать кого-то рядом с собой, его тянут за рукав (Tirer qqn par la manche), а в переносном смысле это означает "привлечь чьё-либо внимание".
Немного устаревшее выражение, но можете встретить в книжке : Avoir qqn dans sa manche - иметь кого-то в рукаве, то есть человек от вас зависит и вы можете требовать от него чего-нибудь или вообще всё.
Ну а когда говорят, что это другая пара рукавов: C'est une autre paire de manches : это означает одесское "две большие разницы".
Когда француз говорит "делать рукав" (Faire la manche), то это означает: попрошайничать, а потом, по расширению, это стало означать: играть на инструменте в метро, на улице, на площади или в парке, петь или показывать пантомиму за мелочь, что бросят прохожие.
И тут, внимание, слово "рука", от которого образованы слова и выражения, приведённые мной выше, совершенно не при чём. Выражение ведёт своё начало не от латинского manus, а от итальянского máncia, что означает ... « чаевые »
Если француз или француженка скажет вам, что вы "дрочите в рукоятку (не в рукав)"
(Branlez dans le manche), то это означает, что вам не хватает твёрдости.
Если слово manche (в мужском роде) служит атрибутом (а оно может превращаться в прилагательное), то означает "криворукий, неспособный".
Manche является синонимом глупости.
Ce qu'elle est manche !
Какая же она дура