Порядок выполнения действий, правила, примеры.

Порядок вычисления простых выражений
Определение 1
В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
1. Все действия выполняются слева направо.
2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.
Пример 1 Условие: вычислите, сколько будет 7−3+67−3+6.
Решение В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
7−3+6=4+6=107−3+6=4+6=10 Ответ: 7−3+6=107−3+6=10.
Пример 2 Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6:2⋅8:36:2•8:3?
Решение: Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Пример 3 Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5⋅6:3−2+4:217−5•6:3−2+4:2.
Решение: Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 55 надо умножить на 66 и получить 30 30, потом 3030 разделить на 33 и получить 1010. После этого делим 44 на 22, это 22. Подставим найденные значения в исходное выражение:
17−5⋅6:3−2+4:2=17−10−2+217−5•6:3−2+4:2=17−10−2+2
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
17−10−2+2=7−2+2=5+2=717−10−2+2=7−2+2=5+2=7
Ответ: 17−5⋅6:3−2+4:2=717−5•6:3−2+4:2=7.
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
.
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
Определение 2
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Определение 3 Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.Опиши задание
Пример 4 Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2⋅3)⋅(6−4):25+(7−2•3)•(6−4):2.
Решение В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2⋅37−2•3. Здесь нам надо умножить 22 на 33 и вычесть результат из 77:
7−2⋅3=7−6=17−2•3=7−6=1
Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=26−4=2.
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5+(7−2⋅3)⋅(6−4):2=5+1⋅2:25+(7−2•3)•(6−4):2=5+1•2:2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5+1⋅2:2=5+2:2=5+1=65+1•2:2=5+2:2=5+1=6 Ответ: 5+(7−2⋅3)⋅(6−4):2=65+(7−2•3)•(6−4):2=6.
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.
Пример 5 Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4⋅(2+3))4+(3+1+4•(2+3)).
Решение У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4⋅(2+3)3+1+4•(2+3), а именно с 2+32+3. Это будет 55. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4⋅53+1+4•5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4⋅5=3+1+20=243+1+4•5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=284+24=28.
Ответ: 4+(3+1+4⋅(2+3))=284+(3+1+4•(2+3))=28.
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1(4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=14−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1(4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4+1=54+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1(4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=84+5−1=8 и в итоге получаем разность 8−18-1, результатом которой будет 77.