Правильнее: один эспрессо.

На самом деле, этот вопрос столь же скользок, сколь и вопрос о родовой принадлежности кофе. Все знают, что сегодня допустимо говорить как «мой кофе», так и «моё кофе». Но есть важный момент! Да, вот уже почти полвека «кофе» значится в словарях как существительное и мужского, и среднего рода. Но средний род при этом всегда носит пометку «разг.» — это значит, что он допустим в разговорной форме речи. А вот если говорить о литературной норме, «кофе» может быть исключительно мужского рода.
С «эспрессо» схожая история. Вплоть до 2005 года этот вид кофейного напитка в словарях проходил с пометкой «м.» — то есть разрешалось его употребление исключительно в мужском роде. Но затем вышла новая версия Русского орфографического словаря (РОС) Лопатина, в которой слово «эспрессо» приобрело уже два возможных варианта — мужского и среднего рода. И ситуация чуть потеряла чёткость.
Впрочем, если ориентироваться на не менее авторитетный источник, чем РОС, — Большой толковый словарь русского языка, то «эспрессо» в нём по‑прежнему сохраняет исключительно мужской род. Так что по совокупности грамотнее будет: «Дайте мне один эспрессо».