Почему некоторые батарейки можно заряжать, а некоторые нельзя?

Перезаряжаемые батарейки называются «аккумуляторами», а одноразовые «гальваническими элементами».
Разница состоит в том, что в одноразовых гальванических элементах протекает необратимая электрохимическая реакция. Происходит расходование химически активного вещества на аноде (минусовая клейма), при чем эта реакция протекает в одну сторону и необратима. Попытка зарядить одноразовую батарейку (не совсем верный термин, но уже устоявшийся, на самом деле батарея — два и более элемента), может привести к утечке электролита и даже возгоранию.
Другое дело аккумулятор, в нем электрохимические реакции обратимы. К примеру литий-ионный аккумулятор (за него была присуждена последняя нобелевская премия по химии), состоит из катода-оксид кобальта, который имеет слоистую структуру, анода-графит, также имеет слоистую структуру, раствора электролита - соли лития + растворитель и сепаратора — предотвращает короткое замыкание между анодом и катодом. В ходе зарядки литий-ионного аккумулятора, электроны с зарядного устройства заходят в анод, это вызывает высвобождение ионов лития, которые были расположены между слоями оксида кобальта (катод), покидают эти слои, проходят через сепаратор и встраиваются (научн. термин — интеркаляция) в слои графита (анод).
Затем, когда мы подключим телефон для зарядки, электроны начнут покидать графит (анод), высвобождая ионы лития, которые устремятся в электролит, пройдут через сепаратор и встроятся в катод (в слои оксида кобальта). На лицо обратимая химическая реакция.