Предыдущая публикация
Что такое неевклидово пространство?
Древнегреческий философ Евклид когда-то сформулировал пять постулатов геометрии, на которых, по сути, основано все, чему нас учили на уроках геометрии в школе. Например, что внутренние углы в треугольнике в сумме составляют 180°, или что площадь прямоугольника равна основанию, умноженному на высоту. Все это евклидова геометрия.Когда кто-то говорит, что пространство неевклидово, он имеет в виду, что один или несколько из этих постулатов недействительны. Обычно пятый. Очень упрощенно это означает, что если у вас есть две прямые параллельные линии, они никогда не сблизятся и не разойдутся.
Так что же произойдет, если этот постулат недействителен? В качестве упрощенного примера возьмите глобус. Начните с любого места на экваторе и идите прямо на север, т. е. под углом 90° от экватора. Когда вы достигнете полюса, поверните на 90° вправо и продолжайте движение вниз к экватору снова. Когда вы достигнете экватора, поверните на 90° вправо еще раз и следуйте по экватору, пока не достигнете начальной точки.
Так что же произойдет, если этот постулат недействителен? В качестве упрощенного примера возьмите глобус. Начните с любого места на экваторе и идите прямо на север, т. е. под углом 90° от экватора. Когда вы достигнете полюса, поверните на 90° вправо и продолжайте движение вниз к экватору снова. Когда вы достигнете экватора, поверните на 90° вправо еще раз и следуйте по экватору, пока не достигнете начальной точки.
Итак, поздравляю, вы нарисовали треугольник на глобусе. В чем подвох? А в том, что сумма внутренних углов такого треугольника составляет 270°, а не 180°. Если вы посмотрите на линии от экватора, идущие на север, они прямые на поверхности и параллельны, но они сходятся на полюсе. Это означает, что пятый постулат не действителен на искривленной поверхности. Поверхность глобуса неевклидова.
Может ли неевклидово пространство быть вложено в евклидово пространство?
Конечно, сфера — это неевклидово пространство, и ее можно с легкостью встроить в любое многомерное евклидово пространство.
Как геометрия может иметь разные и в то же время верные системы?
Евклидова геометрия — это геометрия плоскости. Она основана на пяти «постулатах» — довольно очевидных утверждениях, таких как: «от точки до точки можно провести только одну прямую линию». Многим математикам это утверждение не нравилось, и они пытались его оспорить.
И вот, в середине 19 века, математик Бернхард Риман сделал заявление: «А давайте предположим, что существует более одной такой прямой». В результате он основал новую геометрию, которая оказалась самосогласованной.
Некоторое время спустя другой математик, Н. И. Лобачевский, сказал: «А что, если такие прямые пересекаются?» и создал другую самосогласованную геометрию.
Евклид основал свою геометрию на плоской плоскости. Риманова геометрия эквивалентна геометрии на поверхности сферы, а Лобачевского — геометрии на гиперболической поверхности. Каждая из этих геометрий самостоятельна внутри себя и каждая работает.
Гравитация и неевклидова геометрия.
Может ли неевклидово пространство быть вложено в евклидово пространство?
Конечно, сфера — это неевклидово пространство, и ее можно с легкостью встроить в любое многомерное евклидово пространство.
Как геометрия может иметь разные и в то же время верные системы?
Евклидова геометрия — это геометрия плоскости. Она основана на пяти «постулатах» — довольно очевидных утверждениях, таких как: «от точки до точки можно провести только одну прямую линию». Многим математикам это утверждение не нравилось, и они пытались его оспорить.
И вот, в середине 19 века, математик Бернхард Риман сделал заявление: «А давайте предположим, что существует более одной такой прямой». В результате он основал новую геометрию, которая оказалась самосогласованной.
Некоторое время спустя другой математик, Н. И. Лобачевский, сказал: «А что, если такие прямые пересекаются?» и создал другую самосогласованную геометрию.
Евклид основал свою геометрию на плоской плоскости. Риманова геометрия эквивалентна геометрии на поверхности сферы, а Лобачевского — геометрии на гиперболической поверхности. Каждая из этих геометрий самостоятельна внутри себя и каждая работает.
Гравитация и неевклидова геометрия.
Искривление пространства – это не просто математическая абстракция. Общая теория относительности Эйнштейна описывает гравитацию как искривление пространства-времени массивными объектами. Вблизи этих объектов евклидова геометрия перестает быть адекватным инструментом для описания реальности.
Например, свет, проходящий вблизи массивного объекта, такого как Солнце, отклоняется от прямой линии. Это отклонение можно точно предсказать, используя неевклидову геометрию. Подобные эффекты наблюдаются и в других астрофизических явлениях, подтверждая справедливость теории Эйнштейна и необходимость применения неевклидовых подходов в космологии.
Например, свет, проходящий вблизи массивного объекта, такого как Солнце, отклоняется от прямой линии. Это отклонение можно точно предсказать, используя неевклидову геометрию. Подобные эффекты наблюдаются и в других астрофизических явлениях, подтверждая справедливость теории Эйнштейна и необходимость применения неевклидовых подходов в космологии.
Рассматривая прямые на поверхности тора, оказалось, что через одну точку можно проложить сразу же несколько прямых, параллельных заданной. Так, на рисунке видно, что через точку М проходит три прямых, параллельных D.
Таким образом, выбор между евклидовой и неевклидовой геометрией зависит от масштаба и контекста. Для повседневных задач и небольших расстояний евклидова геометрия остается удобной и точной. Однако, для описания гравитационных явлений и структуры Вселенной на больших масштабах, неевклидовы геометрии становятся незаменимыми.
Итак, мы выяснили, что когда кто-то говорит, что пространство неевклидово, он имеет в виду пространство, свойства которого отличаются от привычной нам геометрии. Проще говоря, это пространство, где не работают некоторые “обычные” геометрические правила, к которым мы привыкли в школе.
Источник: bozonhiggs....
#интересно
Итак, мы выяснили, что когда кто-то говорит, что пространство неевклидово, он имеет в виду пространство, свойства которого отличаются от привычной нам геометрии. Проще говоря, это пространство, где не работают некоторые “обычные” геометрические правила, к которым мы привыкли в школе.
Источник: bozonhiggs....
#интересно
Следующая публикация
Комментарии 24
В неевклидовой геометрии с положительной кривизной будет вот такое неравенство: a^2 + b^2 > c^2. Для случая, показанного на втором рисунке статьи, левая часть неравенства ровно в два раза больше правой части.
Если пространство имеет отрицательную кривизну, то сферу на рисунке мы должны заменить на седловидную поверхность. В этом случае знак в неравенстве изменяется на противоположный: a^2 + b^2 < c^2.
Поверхность сферы, или просто сфера, это двухмерный объект. Но мы его видим в трехмерном пространстве. И можем указать все его точки по формуле: x^2 + y^2 + z^2 = r^2. В данном случае мы видим, как двухмерный объект с конечной площадью 4*pi*r^2, но не имеющим границ, может быть «нарисован» в трехмерном пространстве. Если Вы сомневаетесь, что у сферы нет границ, вырежьте из бумаги букву Г, положите её на мячик и двигайте её по мячику. Найдёте ли Вы границу? 2. Вопрос: Сможете ли Вы превратить букву Г в букву L, не отр...ЕщёВ евклидовой геометрии работает теорема Пифагора. a^2 + b^2 = c^2.
В неевклидовой геометрии с положительной кривизной будет вот такое неравенство: a^2 + b^2 > c^2. Для случая, показанного на втором рисунке статьи, левая часть неравенства ровно в два раза больше правой части.
Если пространство имеет отрицательную кривизну, то сферу на рисунке мы должны заменить на седловидную поверхность. В этом случае знак в неравенстве изменяется на противоположный: a^2 + b^2 < c^2.
Поверхность сферы, или просто сфера, это двухмерный объект. Но мы его видим в трехмерном пространстве. И можем указать все его точки по формуле: x^2 + y^2 + z^2 = r^2. В данном случае мы видим, как двухмерный объект с конечной площадью 4*pi*r^2, но не имеющим границ, может быть «нарисован» в трехмерном пространстве. Если Вы сомневаетесь, что у сферы нет границ, вырежьте из бумаги букву Г, положите её на мячик и двигайте её по мячику. Найдёте ли Вы границу? 2. Вопрос: Сможете ли Вы превратить букву Г в букву L, не отрывая её от поверхности шарика? Ответ: Нет. А отрывая от поверхности, можно, но при этом Вы выходите за пределы двухмерного мира, в котором живет этот плоскатик Г.
На прилагаемом рисунке я показал 3-мерный замкнутый неевклидов мир с помощью развертки в трехмерном мире. Так иногда изображают Землю на плоскости карты, делая мысленно прокол на южном полюсе и растягивая её, сохраняя длину меридианов. Тогда по всему контуру Земли мы увидим Антарктиду.
Есть другой способ воображения и расчетов замкнутого неевклидова 3-мерного пространства. Для этого его надо погрузить в 4-мерное евклидово пространство. Все точки такого мира будут заданы формулой:
x^2+y^2+z^2+t^2=r^2.
Вы спросите, а что там делает время t? Нет, в данном случае я просто четвертую координату обозначил буквой t. Если же t это время, а r это расстояние в пространстве, то мы попадаем в псевдоевклидово пространство, где работает «теорема Пифагора» в виде: r^2 - t^2 = s^2.
Сигнатуру (знаки перед r, t) выбирает автор.
А можно и вот так r^2 + (it)^2 = s^2, где i — корень из минус единицы.
Наше пространство-время имеет псевдоевклидову геометрию Специальной теории относительности. Рисунок 2 - анимация жизни электрона и его поля в нашем псевдоевклидовом пространстве-времени. Он постоянно везде и всегда! Нарушения СТО здесь нет.
Когда первоначально речь шла о сумме внутренних углов треугольника, треугольник был НА ПЛОСКОСТИ.
И их сумма равна 180 градусам, хоть на Марсе, хоть в туманности Андромеды.
А здесь это первоначальное условие подменили, и начинают умничать.
Банальное шулерство, недостойное учёных.
Треугольник на сфере - это совсем другое. Это не треугольник на плоскости.
Есть наука стереометрия, которая рассматривает объемные фигуры В ТОМ ЖЕ САМОМ эвклидовом пространстве, с тремя ортогональными осями.
Так называемый "треугольник на сфере" - это намного более сложная фигура, но если разложить её на составляющие, будет та же самая эквлидова геометрия.
Потому что другого не может быть, потому, что не может быть никогда.
И нечего людям головы забивать.
Даже если лень разложить многогранник на простые пирамиды.
Цитирую: «Банальное шулерство, недостойное учёных».
Зря Вы так. Специальная теория относительности — инженерная наука. Может быть прекрасно расписана на псевдоевклидовой плоскости. Общая теория относительности, или теория гравитации, тоже имеет подтверждения, и в ней пространство-время действительно искривлено.Вы ведь привыкли, что мы живем на сфере земного шара и американцы ходят вверх ногами относительно нас. И расстояние при перелете от Москвы до Магадана нужно измерять на сфере, то есть на глобусе. Если Вы попробуете применить евклидову геометрию при вычислении расстояния между Москвой и Магаданом, то, во-первых, получите большую ошибку — ни на одной плоской карте Вы не сможете вычислить реальное расстояние, во-вторых, по евклидовой геометрии прямая между Москвой и Магаданом проходит под поверхностью Земли. Но это еще не есть неевклидова геометрия. Вашу привычку, что земля сферична, надо перенести на всё пространство, и тогда, может быть, возникнет понимание. Но если не по
...ЕщёЦитирую: «Банальное шулерство, недостойное учёных».
Зря Вы так. Специальная теория относительности — инженерная наука. Может быть прекрасно расписана на псевдоевклидовой плоскости. Общая теория относительности, или теория гравитации, тоже имеет подтверждения, и в ней пространство-время действительно искривлено.Вы ведь привыкли, что мы живем на сфере земного шара и американцы ходят вверх ногами относительно нас. И расстояние при перелете от Москвы до Магадана нужно измерять на сфере, то есть на глобусе. Если Вы попробуете применить евклидову геометрию при вычислении расстояния между Москвой и Магаданом, то, во-первых, получите большую ошибку — ни на одной плоской карте Вы не сможете вычислить реальное расстояние, во-вторых, по евклидовой геометрии прямая между Москвой и Магаданом проходит под поверхностью Земли. Но это еще не есть неевклидова геометрия. Вашу привычку, что земля сферична, надо перенести на всё пространство, и тогда, может быть, возникнет понимание. Но если не получается, не отчаивайтесь. Есть анекдот: сидят два учёных времён Эйнштейна, и один говорит другому: «В мире есть лишь три человека, которые понимают теорию Эйнштейна». Второй почесал затылок и спрашивает: «Хм, странно. Эйнштейн — раз, я — два, а кто же третий?»
Проще время искривить....
а про вычисление дуги при известном радиусе - это вообще за пределами понимания...
З.Ы. Кстати, чтобы преодолеть проблему плоской карты - придумали круглый во всех отношениях глобус.
А про действие гравитационных сил, удерживающих американцев "верх ногами" - это аж в 6-м классе будет, - а до него ещё далеко...
Земля сферична, но на ней действуют те же три координаты.
И в Солнечной системе - тоже, но там центр другой. И так далее.
Ничего , кроме трёх координат.
И сил, которые действуют в этих же трёх координатах.
А "время" - это чисто наше психологической переживание последовательности событий, и не более того.
В каждых мозгах оно искривляется по-своему. Что было 60 лет назад - помню, что было неделю назад - нет.
Но это вопрос психологии, а не физики.
Но если Вы начали постигать тайну числа π, то Вы на верном пути. Возможно, Вы скоро поймете, в какой из геометрий отношение окружности к диаметру больше π, а в какой меньше. Удачи Вам на этом нелёгком поприще.
И ни в какой геометрии пи не может быть другим.
и никакой другой геометрии - В РЕАЛЬНОЙ ПРИРОДЕ - тоже быть не может.
Ибо вселенная такова. какая она есть.
А всё остальное - это действие СИЛ, существование которых штейновцы отрицают, заменив их "искривлениями", потому, что если вычислять силы - нужно ещё и тригонометрию знать.
Вдобавок к стереометрии.
Глупость. Если в коробочке находится 1 грамм радиоактивного вещества с периодом радиоактивного полураспада 10 минут, то половина из него распадается за 10 минут вне всякого Вашего психологического колдовства.
А медленный мюон в лаборатории распадется быстрее, чем такой же мюон, но релятивистский, образовавшийся от столкновения космической частицы с атмосферной. Если бы не замедление времени для релятивистских мюонов, то они бы не были обнаружены у самой поверхности Земли. Но они успевают прилететь сюда благодаря замедлению времени в их ИСО, движущейся с околосветовой скоростью.
И никакой другой геометрии — В РЕАЛЬНОЙ ПРИРОДЕ — тоже быть не может».
Число pi, конечно же, везде одно и то же. И числа i, e, и связь между ними. См. формулу-красавицу Эйлера. Но в разных геометриях отношение окружности к диаметру окружности может отличаться от pi.
По поводу Вашего негодования о подмене понятия силы кривизной, я с Вами частично согласен, но не полностью. Эйнштейн использует тензор, а там напряжения, или, если по-простому, давление, что есть частное от силы на площадь. Моё недовольство заключается в том, что не вскрыто попутное явление в гравитации, но я здесь не буду распыляться о собственных изысканиях на этом пути. Захотите — найдете в моих статьях.
Я про физику.
И про то, что в 20 веке физики как таковой не было. Была одна математика.
Но когда математики, придумав себе более удобную формулу для расчётов, пытаются утверждать, что в реальности, в физике, - ТАК И ЕСТЬ - тут они глубоко заблуждаются.
Нет в природе никакого i. Как и многого другого, что придумали себе математики. В том числе и искривлённого пространства.
Хотя приняв такую модель, возможно, какие-то формулы проще считать.
Но в реальности - во Вселенной - только три пространственных измерения.
И силы (поля).
и ни копейкой больше.
а расчёт электронных схем таких построений не требует - от слова СОВСЕМ.
Вся радиотехника состоит из резисторов, конденсаторов и индуктивностей, и ничего более, независимо от того, дискретны ли эти элементы, или упаковано их миллион штук на кристалле 1 мм2.
Реальная радиотехника будет работать, даже если вообще не знать методов расчёта, даже плоскими формулами - просто методом подбора элементов и наблюдения результата на осциллографе.
Насчёт i я в курсе (ТФКП), но опять же повторяю - это всего лишь математика для удобства расчётов, в природе нет никакого i.
Реальны в природе только R, C, L.
а описывать природу можно хоть i, хоть квадратными попугаями, как Вам больше нравится. Поэты описывают её словами с одинаковыми окончаниями.
Смешивание реального и виртуального, физики и математики - опасный синдром.
Кто не видит между ними разницу - прин...Ещёкак радиоинженер, я знаю, что квантовая механика - это умозрительные построения, которые вообще нами никогда не применялись (и даже не изучались),
а расчёт электронных схем таких построений не требует - от слова СОВСЕМ.
Вся радиотехника состоит из резисторов, конденсаторов и индуктивностей, и ничего более, независимо от того, дискретны ли эти элементы, или упаковано их миллион штук на кристалле 1 мм2.
Реальная радиотехника будет работать, даже если вообще не знать методов расчёта, даже плоскими формулами - просто методом подбора элементов и наблюдения результата на осциллографе.
Насчёт i я в курсе (ТФКП), но опять же повторяю - это всего лишь математика для удобства расчётов, в природе нет никакого i.
Реальны в природе только R, C, L.
а описывать природу можно хоть i, хоть квадратными попугаями, как Вам больше нравится. Поэты описывают её словами с одинаковыми окончаниями.
Смешивание реального и виртуального, физики и математики - опасный синдром.
Кто не видит между ними разницу - приносит в школу ружье и расстреливает одноклассников, как в виртуальной компьютерной игре, где у каждого по 20 жизней.
Но с понятиями интегрирования и дифференцирования радиотехника становится понятной и объяснимой. И предсказуемой.