По легенде, Пифагор первым обнаружил, что две одинаково натянутые струны издают приятный звук, если их длины соотносятся как небольшие целые числа. С тех пор людей завораживает таинственная связь красоты и математики, вполне материальной гармонии форм, колебаний, симметрии — и совершенной абстракции чисел и отношений.  Эта связь эфемерна, но ощутима, недаром художники уже много лет пользуются законами геометрии и вдохновляются математическими закономерностями. Генри Сегерману трудно было отказаться от этого источника идей: в конце концов, он математик и по призванию, и по профессии.

                                                 Бутылка Клейна «Мысленно склеив края двух лент Мёбиуса, — говорит Генри Сегерман, — можно получить бутылку Клейна, которая также имеет одну поверхность. Здесь мы видим бутылку Клейна, полученную из лент Мёбиуса с круглым краем.  Вернее, то, как она может выглядеть в трехмерном пространстве. Раз исходные «круглые» ленты Мёбиуса уходят в бесконечность, то такая бутылка Клейна будет продолжаться в бесконечность дважды и сама себя пересечет, что видно на скульптуре». Увеличенная копия этой скульптуры украшает факультет математики и статистики Мельбурнского университета. «Я родился в семье ученых, и думаю, что мой интерес ко всему, что требует развитого пространственного мышления, связан именно с этим», — говорит Генри. Сегодня он — уже выпускник магистратуры Оксфордского и докторантуры Стэнфордского университетов, занимает должность младшего профессора в Университете Оклахомы.

                                               Кривая Гильберта:   Кривые Гильберта представляют собой фрактальные структуры, и если увеличить масштаб, можно увидеть, что части этой кривой повторяют форму целого. «Я тысячи раз видел их на иллюстрациях и компьютерных моделях, но, когда впервые взял такую 3D-скульптуру в руки, сразу заметил, что она еще и пружинит, — говорит Сегерман. — Физические воплощения математических концепций всегда чем-нибудь да удивляют». Однако работать с материальными скульптурами ему понравилось куда больше. «Вокруг нас постоянно циркулируют огромные объемы информации, — говорит Сегерман. — К счастью, реальный мир обладает очень большой пропускной способностью, которая в Сети пока недостижима.  Дайте человеку готовую вещь, целостную форму — и он воспримет ее сразу во всей ее сложности, не дожидаясь загрузки». Так что начиная с 2009 года Сегерман создал чуть больше сотни скульптур, и каждая из них — наглядное и, насколько возможно, точное физическое воплощение абстрактных математических концепций и законов.  Многогранники Эволюция художественных экспериментов Сегермана с 3D-печатью странным образом повторяет эволюцию математических идей. Среди его первых опытов — классические платоновы тела, набор из пяти симметричных фигур, сложенных правильными треугольниками, пятиугольниками и квадратами.  За ними последовали полуправильные многогранники — 13 архимедовых тел, грани которых образованы неодинаковыми правильными многоугольниками.

                                         Стэнфордский кролик Созданная в 1994 году трехмерная модель. Сложенная из почти 70 000 треугольников, она служит простым и популярным тестом эффективности программных алгоритмов. Например, на кролике можно проверить эффективность сжатия данных или сглаживания поверхности для компьютерной графики.  Поэтому для специалистов эта форма — все равно что фраза «Съешь еще этих мягких французских булок» для любителя поиграться с компьютерными шрифтами. Скульптура «Стэнфордский кролик» — это та же модель, поверхность которой «замощена» буквами слова «кролик» (bunny). Уже эти простейшие формы, перекочевав с двумерных иллюстраций и идеального мира воображения в трехмерную реальность, вызывают внутреннее восхищение их лаконичной и совершенной красотой. «Связь математической красоты с красотой визуальных или звуковых произведений искусства мне кажется очень зыбкой.. Вскоре за классическими фигурами последовали все более и более сложные формы, вплоть до таких, о которых вряд ли могли помыслить Архимед или Пифагор — правильных многогранников, без промежутка заполняющих гиперболическое пространство Лобачевского.  Такие фигуры с невероятными названиями вроде «тетраэдральные соты порядка 6» или «шестиугольные мозаичные соты» невозможно представить в воображении, не имея под рукой наглядной картинки. Или — одной из скульптур Сегермана, которые представляют их в привычном нам трехмерном евклидовом пространстве.

                                             Платоновы тела Платоновы тела: сложенные правильными треугольниками тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, а также состоящий из квадратов куб и икосаэдр на основе пятиугольников. Сам Платон связывал их с четырьмя стихиями: «гладкие» октаэдрические частицы, по его представлениям, складывали воздух, «текучие» икосаэдры — воду, «плотные» кубы — землю, а острые и «колючие» третраэдры — огонь. Пятый элемент, додекаэдр, философ считал частицей мира идей.

                                        Дополнение восьмерки Представьте, что вы завязали узел внутри твердого тела, а потом удалили его; оставшаяся полость называется дополнением узла. На этой модели показано дополнение одного из самых простых узлов, восьмерки. Красота В конечном итоге эволюция математических скульптур Сегермана заводит нас в сложную и завораживающую область топологии. Этот раздел математики изучает свойства и деформации плоских поверхностей и пространств разной размерности, и для него важны их более широкие характеристики, чем для классической геометрии.  Куб здесь можно легко, как пластилин, превратить в шар, а чашку с ручкой скатать в бублик, не нарушив в них ничего важного — известный пример, который нашел воплощение в изящной «Топологической шутке» Сегермана.

Тессеракт — четырехмерный куб: подобно тому как квадрат можно получить смещением отрезка перпендикулярно ему на равное его длине расстояние, куб можно получить аналогичным копированием квадрата в трех измерениях, а сдвинув куб в четвертом, мы «нарисуем» тессеракт, или гиперкуб. У него будет 16 вершин и 24 грани, проекции которых на наше трехмерное пространство выглядят мало похожими на обычный трехмерный куб. «В математике очень важно эстетическое чувство, математики любят «красивые» теоремы, — рассуждает художник. — Трудно определить, в чем именно состоит эта красота, как, впрочем, и в других случаях. Но я бы сказал, что красота теоремы — в простоте, которая позволяет что-то понять, увидеть какие-то простые связи, прежде казавшиеся невероятно сложными.  В основе математической красоты может лежать чистый, эффективный минимализм — и удивленный возглас: «Ага!»». Глубокая красота математики может пугать, как ледяная вечность дворца Снежной королевы. Однако вся эта холодная гармония неизменно отражает внутреннюю упорядоченность и закономерность той Вселенной, в которой мы живем.  Математика — лишь язык, который безошибочно соответствует этому изящному и сложному миру. Парадоксально, но в нем находятся физические соответствия и приложения для почти любого высказывания на языке математических формул и отношений. Даже самым абстрактным и «искусственным» построениям рано или поздно находится приложение в реальном мире.

Топологическая шутка: с определенной точки зрения поверхности кружки и бублика «одинаковы», точнее говоря — гомеоморфны, поскольку способны переходить одна в другую без разрывов и склеек, за счет постепенной деформации. Евклидова геометрия стала отражением классического стационарного мира, дифференциальное исчисление пригодилось ньютоновской физике. Невероятная риманова метрика, как оказалось, необходима для описания нестабильной Вселенной Эйнштейна, а многомерные гиперболические пространства нашли применение в теории струн. В этом странном соответствии абстрактных выкладок и чисел основаниям нашей реальности, возможно, и кроется секрет той красоты, которую мы обязательно чувствуем за всеми холодными расчетами математиков. #Наука