Родился 7 декабря 1890 года в деревне Невениковская (ныне Слободской район, Кировская область). Происходил из древней вятской фамилии Бакулевых.

Окончил Первую Вятскую гимназию в 1911 году, затем — медицинский факультет Саратовского университета (1915).

Участник Первой мировой войны, два с половиной года нёс службу на Западном фронте младшим врачом 80-го Кабардинского полка. За участие в разведывательной операции был награждён орденом Св. Станислава 3-й степени.

С 1919 года работал ординатором в университетской хирургической клинике под руководством С. И. Спасокукоцкого; с 1926 года — на кафедре хирургии 2-го Московского медицинского института (возглавил эту кафедру в 1943 году).

Профессиональная деятельность Бакулева связана с такими направлениями медицины, как хирургия почек, костная хирургия, хирургическое лечение язвенной болезни, хирургия сердца, опухоли средостения и лёгких. В 1948 году произвёл операцию по поводу врождённого порока сердца. Бакулев был также одним из пионеров нейрохирургии в СССР. Основатель и первый директор Института грудной хирургии (позднее Институт сердечно-сосудистой хирургии им. А. Н. Бакулева). Один из организаторов Пироговских чтений.

Президент АМН СССР с 14 декабря 1953 года по 29 января 1960 года. Депутат (от Москвы) Совета Союза Верховного Совета СССР 4 и 5 созывов (1954—1962).

Дружил с секретарём И. В. Сталина А. Н. Поскрёбышевым.
Умер 31 марта 1967 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.