Нам кажется, будто глаголы «окончить» и «закончить» полностью одинаковы по смыслу.

Во многом они похожи, но есть и отличия. Давайте разберёмся, какой глагол использовать, когда мы говорим об учебных заведениях.
В значении «пройти какой-либо курс обучения, завершить обучение где-либо» употребляется только глагол «окончить».
Окончить школу, вуз, университет, курсы и т. п.
Окончить курсы экстремального вождения.
Недаром мы поздравляем друг друга с окончанием вуза, с окончанием школы, а не с заканчиванием и тем более не закончанием (даже нет такого слова).
А после обучения мы получаем диплом об окончании вуза.
Глагол «закончить» синонимичен глаголу «окончить» только в значении «довести до конца, завершить»:
Закончить работу = окончить работу. Закончить съёмки = окончить съёмки.
Заглянем в Большой толковый словарь С. А. Кузнецова: