Александр Николаевич родился 25 ноября (по старому стилю) 1890 года в деревне Невениковская Слободского уезда Вятской губернии в многодетной крестьянской семье Николая Никитича и Марии Фёдоровны. Учился в земском училище, сидел за одной партой с Александром Поскрёбышевым, впоследствии ставшим секретарем Сталина. В 1911 году окончил Первую Вятской гимназию, как вспоминал сам Бакулев, решение остановить свой выбор на медицинской профессии зрело у него еще дома. Он поступает на медицинский факультет Императорского Николаевского Саратовского университета, здесь слушает лекции знаменитого профессора Сергея Спасокукоцкого, благодаря им заинтересовался хирургией. После начала Первой мировой войны в звании зауряд-врача был мобилизован на Северо-Западный фронт, позже был назначен младшим полковым врачом, служил также в разведке. Диплом врача получил уже в 1918 году, когда ему исполнилось 28 лет. Во время Гражданской войны оперировал красноармейцев, но активно включился в хирургическую практику только в 1926 году, когда по приглашению своего учителя Спасокукоцкого переехал в Москву. Здесь он работает ассистентом именитого профессора, перенимая во время операций бесценный опыт. Бакулев изучал заболевания легких, занимался легочной хирургией, разработал и внедрил в лечебную практику ряд новаторских методов, они описаны в монографии «Пневмонэтакия и лобэктомия» (Сталинская премия 1949 года). Во время Великой Отечественной войны был главным хирургом Резервного фронта, а позже одновременно главным хирургом эвакуационных госпиталей Москвы. С 1941 по 1953 годы – главный хирург лечебно-санитарного управления Кремля. Методы, разработанные Бакулевым по операциям на позвоночнике и черепе, позволили спасти жизни сотням раненым. В 1948 году впервые провел операцию по устранению врожденного порока сердца, а в 1951 – по устранению аневризмы грудной аорты.

Скончался Александр Николаевич 31 марта 1967 года. В историю он вошел как один из первых нейрохирургов страны. Имя Бакулева носит организованный им Институт сердечно-сосудистой хирургии.