Трудности усвоения школьниками операций с дробями объясняются, например, тем, что правила и способы действия, с которыми знакомятся учащиеся при изучении дробей, вступают в определенные противоречия с теми правилами и способами действия, которые ими были прочно усвоены при изучении целых чисел. Об этом писали Н.А. Менчинская, З.М. Мехтизаде и А.С. Пчелко. «Значительную трудность для понимания дроби, - указывает А.С. Пчелко, - представляет неодинаковый характер изменения дробного числа при изменении числителя и знаменателя. При увеличении числителя дробь увеличивается - это аналогично целым числам и это сравнительно легко воспринимается учащимися. Но при увеличении знаменателя дробное число уменьшается - это непривычно для ребят. Это находится даже в некотором противоречии с опытом детей в области целых чисел» Пчелко А.С. Методика преподавания арифметики в начальной школе М., 1947.- С.328. Одной из причин формального усвоения операций с дробями Н.А. Менчинская называет несвоевременно ранее сообщение учащимся названий дробей (когда учащиеся еще не знают, как образуется та или иная дробь). Название дроби должно вводиться в неразрывной связи с процессом ясного осознания детьми, как образовалась дробь. При таком подходе, полагает автор, удастся избежать смешения названия дроби. Обосновывается это тем, что для большинства детей младшего школьного (равно как и дошкольного) возраста любая доля, любая часть целого - это половина. Для ребенка, по её мнению, не является существенным факт неравенства этих самых «половин», например при разламывании шоколада, хотя всем ясно, что понятия «больше» и «меньше» они усвоили хорошо. Дети часто так и говорят - «твоя половина больше, чем моя». По-видимому, главные причины низкого качества усвоения понятия дроби (а также и последующих затруднений, с которыми сталкиваются учащиеся при его изучении) заключаются в механическом заучивании, в недостаточном внимании к осознанному восприятию понятия, установлению взаимосвязи между множествами изученных и вновь введенных чисел, выявлению общих и особенных характеристик этих множеств. В свое время А.Н. Колмогоров обратил на это внимание: «на понятии действительного числа без всякого упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени и т.д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними» Лебег А. Об измерении величин. Пер. с франц. с предисловием А.Н. Колмогорова. -- М.: Учпедгиз, 1938 - Стр. 6. Н.А. Менчинская изучала ступени изучения материала при усвоении понятия дроби учениками 5-го класса. Ею были выделены следующие этапы формирования понятия дробь: 1. Дробление предметов даже без названия результата; 2. Отражение процесса дробления в представлении и в речи; 3. Решение задач с помощью отвлеченных дробных чисел. Оказывается, что для успешного освоения операций с дробями, необходимо переводить их через эти три последовательные ступени. При введении понятия дроби еще в начальной школе нужно обеспечить совмещение двух аспектов его изучения: 1) умение видеть равные доли на рисунке (чертеже) 2) умение самостоятельно образовывать доли, расчленяя целое на части. Только после того, как у детей будет накоплен достаточный опыт в делении на равные доли реальных предметов, можно переводить их на более высокие ступени. То есть вначале устранять момент «личного» действия при образовании дроби, сохраняя зрительное восприятие равных долей, а затем исключать и этот момент восприятия, предлагая учащимся мысленно представить процесс образования дроби. Особую трудность, по мнению Н.А. Менчинской составляет понятие «знаменатель» «Фактически в знаменателе раскрывается своеобразие дробного числа в отличие от целого» - справедливо указывает автор Менчинская Н.А. Очерки психологии обучения арифметики.- М.: Учпедгиз.- 1950.- С. 26.. Так, учащиеся с легкостью сравнивают дроби с равными знаменателями, перенося навыки сравнения из области целых чисел, они с легкостью поясняют свои действия, нередко, указывая, во сколько раз одна дробь превосходит другую. В то же время, те же дети испытывают трудности при сравнении дробей с разными знаменателями, путаются в пояснении своих действий. Случается, что при сложении и вычитании дробей, школьники складывают и вычитают знаменатели. Ошибки подобного рода не возникают, если школьники с самого начала осмыслили своеобразие понятия «знаменатель». Разумно предлагается при изучении дробей опираться на знание именованных чисел, их раздробления и превращения. При этом знаменатель - это наименование частей. Чтобы преодолеть указанные трудности, при обучении учащихся арифметическим действиям, в том числе и действиям с дробями, важно последовательно формировать процесс получения результата-то есть, устанавливать ассоциации по смежности. Например, получив задание разделить 3 полоски на 4 равные части, ученик сначала рассуждает так: «В одной полоске , в трех полосках их всего , 12 разделить на 4 будет 3, значит ». Затем прибегает к более короткому пути рассуждения: «Делил на 4 - это был знаменатель, и было 3 полоски, всего будет ». И, наконец, рассуждение сокращается до одного звена: «3 на 4 нацело не делится, будет ». Так постепенно происходит сокращение промежуточных звеньев процесса, между условием примера и ответом образуется прямая связь. Но даже, когда рассуждение выключено полностью, оно продолжает лежать в основе выполнения операции. К сожалению, в школьной практике нередко имеют место такие случаи, когда арифметическая операция с самого начала строится по типу простейшей ассоциативной связи, промежуточное звено - рассуждение - вообще отсутствует. И если учащийся выполняет действия механически, не понимая того, что он делает и зачем не происходит и его научения. Типичным результатом является неумение школьников решать задачи на нахождение части целого и неизвестного целого по его части. Указанные трудности говорят о том, что учащиеся не осознают нахождение части от числа и умножение как одну и ту же операцию, они в равной мере не осознают как одну и ту же операцию нахождение числа по его дроби и деление. Различные термины скрывают от них единство содержания понятий, обозначаемых этими терминами. Это происходит всегда, если и умножение дробей и решение задач на нахождение части целого вводится только с помощью алгоритма. Учащиеся не проходят все ступени по формированию ассоциаций, поскольку знают четкий алгоритм, следовательно, не могут сопоставить и обобщить эти две операции. Еще одно распространенное затруднение в изучении дробей это умножение и деление. «Ученику приходится делать весьма значительные усилия мысли, чтобы постигнуть, что умножение называется иногда делением; что не всегда от умножения число увеличивается; что умножить число - это не всегда значит «взять его слагаемым несколько раз»», - писал методист С.И. Шохор-Троцкий Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики.- М.; Л.: Учпедгиз, 1935.- С. 112.. Позже Н.А. Менчинская высказывает мнение о том, что никак нельзя считать правильным то положение, когда у детей при изучении целых чисел формируются представления об умножении как об увеличении, а о делении как об уменьшении. В дальнейшем это приводит к неверному переносу ассоциаций в область дробей. При этом Н.А. Менчинская указывает, что при изучении целых чисел учитель должен придавать особое значение случаям умножения и деления на 0 и 1, которые не приводят к привычному и ожидаемому увеличению и уменьшению числа. При выполнении этих операций всегда полезно задать вопрос: «Как изменилось число?» Еще одна проблема - это отождествление операций нахождения наибольшего общего делителя и сокращения дробей, а также наименьшего общего кратного и приведения дробей к общему знаменателю. Исследованием причин, по которым учащиеся не различают операции нахождения НОД и НОК, занималась З.М. Мехтизаде, которая обратила внимание на то, что «при овладении этими двумя схожими операциями, учащиеся раньше всего овладевают ими в тех звеньях, которые являются общими для этих двух операций, и с большим трудом в той части, где требуется применение различных дифференцированных друг от друга способов действия. Если в одном случае, в общих звеньях этих операций, актуализируются или воспроизводятся одни и те же системы ассоциаций, то в другом случае, т.е. в различных звеньях, требуется перестройка ранее образованной системы ассоциаций. Именно эта перестройка системы ассоциаций и затрудняет учащихся» Мехтизаде З.М. Вопросы психологии обучения арифметике.- М.: Известия АПН РСФСР, 1955. - С. 123. Ошибки, которые порождаются наличием двух сходных правил, основаны на «правилосообразных» связях. В данном случае путаница происходит еще и по причине схожести названия операций, редко когда внимание учащихся верным образом акцентируется на последнем слове, чаще эти аббревиатуры воспринимаются абракадаброй. Важным моментом является своевременное сравнение таких правил, построение системы упражнений, постепенно отражающей сходство и различие операций. Н.А. Менчинская предлагает использовать принцип варьирования существенных признаков для составления систем упражнений при изучении материала. То есть задания должны изменяться не столько по уровню сложности, сколько по их положению во всем учебном материале. Наличие контрпримеров при построении системы упражнений обязательно. Поэтому необходимо максимально облегчить учащемуся освоение понятия «дроби» и действий с ними, применяя достижения психологической науки. Н.А. Менчинская занималась исследованием ошибок, которые допускают учащиеся при обучении, и сумела типизировать ошибки. В ее трудах много практических советов, направленных не только на преодоления уже полученных ошибок, но и для их предотвращения. Оказывается, числа, подобранные в примерах нередко провоцируют возникновение, так называемых описок. Некоторые комбинации чисел провоцируют на выполнение определенной операции, в этом случае происходит ослабление остроты сознания и «настоящий» знак действия остается не замеченным. Следовательно, психологические основы возникновения ошибок и разумного построения системы упражнений должны быть изучены каждым педагогом. Таким образом, система упражнений при изучении дробей должна отвечать как методическим задачам, так и учитывать психологические основы слухового восприятия формулировок и зрительного восприятия комбинаций чисел. Важно сформировать у учащихся умение выделять существенные и несущественные признаки объектов и действий над ними, и обязательно учитывать и психологические особенности восприятия материала. Уверенное представление о дроби возникает только тогда, когда учащийся самостоятельно проходит все ступени по формированию этого понятия, то есть при изучении дробей необходим творческий метод обучения. Сознательное оперирование осуществляется при верно построенной системе ассоциаций и полной связи между условием задачи и ее ответом.