Существует несколько способов, как проигрывать видео YouTube в фоновом режиме на Android.

Методы можно разделить на платные и бесплатные. В основном это платная подписка, использование браузеров или применение альтернативных приложений, где есть поддержка фонового режима воспроизведения.
Читайте об этом в статье