КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО СПОРТИВНОЙ МЕТРОЛОГИИ (Соколов)

Выполнять контрольную в 12-ти листовой тетради. Тема: расчеты методом Стьюдента. Как сказал преподаватель, необходимо выбрать любую из трех практических занятий и написать со своими данными, т.е со своими расчетами по выбранной группе учащихся. Если будут одинаковые расчеты, то не засчитаются обе работы. Сказал можно взять решенные практические и подставить другие цифры. Надеюсь, что объяснила доходчиво, если что, звоните.
Практическое занятие – 3 (2ч)
Тема: Определение доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности по Стьюденту
Цель: научиться определять доверительный интервал (интервал, связанный с уверенностью, что рассматриваемая величина не выйдет за его пределы) для среднего значения генеральной совокупности.
Задача:
Определить доверительный интервал по данным заданной выборки.
Решение:
1. Определить доверительного интервала по Стьюденту.
2. Занести результаты тестирования в рабочую таблицу.
3. Вычислить стандартное отклонение и ошибки средней арифметической
4. Определить число степеней свободы
5. Сделать вывод с уверенностью 95%
Практическое занятие – 4 (2ч)
Тема: Сравнение групп методом Стьюдента.
Цель: научиться выявлять достоверность различий между данными двух выборок одной и той же генеральной совокупности.
Задачи:
1. Усвоить теоретические сведения о методе Стьюдента в применении для сравнения двух выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, или двух различных состояний одной и той же выборочной совокупности.
2. Научиться решать задачи трех типов с подбором формул по объёму и по составу групп.
Задачи:
1. Групп с попарно-независимыми вариантами ; .
2. Сравнение двух малых групп с попарно-независимыми вариантами ;
.
Практическое занятие – 5 (2ч)
Тема: Сравнение групп методом Стьюдента.
Цель: научиться выявлять достоверность различий между данными двух выборок одной и той же генеральной совокупности.
Задачи:
1. Усвоить теоретические сведения о методе Стьюдента в применении для сравнения двух выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, или двух различных состояний одной и той же выборочной совокупности.
2. Научиться решать задачи трех типов с подбором формул по объёму и по составу групп.
Задачи:
Сравнение двух малых групп с попарно-зависимыми вариантами
или ;
РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Практическое занятие – 3(2ч)
Тема: Определение доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности но Стьюденту.
Цель и задача: научиться определять доверительный интервал связанный с уверенностью β, что рассматриваемая величина не выйдет за его пределы для среднего значения генеральной совокупности.
Пример.
Определить доверительный интервал пульса покоя за 15с с уверенностью р=95% у группы студентов, если данные выборки таковы:
х1уд.~ 14, 16. 17, 17,16, 17, 17, 16,18, 17 (n=10).
Решение:
Доверительный интервал по Стьюденту имеет вид:
,
где , среднее значение генеральной совокупности;
ошибка среднего арифметического, вычисляемая
по формуле: , где: t – число Стьюдента из таблицы;
β – уровень доверительной вероятности.
2. Заносим результаты тестирования в рабочую таблицу 3.1:
3.Вычислим значения стандартного отклонения и ошибки средней арифметической: при (n ≤ 30)
Таблица 3.1
№ xi (хi – )
(xi– )2
14 -2 4
16 0 0
17 1 1
17 1 1
16 0 0
17 1 1
17 1 1
16 0 0
18 2 4
17 1 1
4. Число степеней свободы к в данном случае вычисляем по формуле:
Тогда при k = 10 и β=95% t табл.= 2,23.
Отсюда ,
(16–0,9) уд (16+0,9) уд
15уд. 17 уд.
Вывод: с уверенностью β = 95% можно утверждать, что среднее значение генеральной совокупности показателя пульса покоя за 15 с не вышло бы за пределы от 15 до 17 ударов.
Чем больше уверенность (β), тем шире интервал распределения величин.
Задача.
Определить доверительный интервал пульса покоя за 1 мин с уверенностью β=95% у студентов группы , если данные выборки таковы:
xi уд. ~
Решение:
1. Доверительный интервал по Стьюденту имеет вид:
,
2. Занести результаты тестирования в рабочую таблицу 3.2 и произвести необходимые расчеты:
Таблица 3.2
№ xi (хi – )
(x,– )2
2. Число степеней свободы k =
Тогда при k= и β= 95% t.табл.=
Отсюда
Практическая работа – 4(2ч)
Тема: Сравнение групп методом Стьюдента
Цель и задача: научиться выявлять достоверность различия между данными двух выборок одной и той же генеральной совокупности.
Теоретические сведения. Метод Стьюдента применяется для сравнения двух выборок, взятых в одной и той же генеральной совокупности, или двух различных состояний одной и той же выборочной совокупности.
При этом могут представиться следующие случаи:
I .По объему:
а) обе группы большие (п>30);
б) обе группы малые (п<30);
в) одна – большая, вторая – малая.
2. По составу:
а) группы с попарно-зависимыми вариантами, когда i-тая варианта первой группы сравнивается с i-той вариантой второй группы(nх = ny);
б) группы с попарно-независимыми вариантами (можно менять варианты местами внутри группы).
Исходя из таких условий задачи могут быть трех типов:
I. Сравнение двух больших (или одной большой, одной малой) групп c попарно-независимыми вариантами проводится по формулам:
где: k – число степеней свободы,
nx – объем первой выборки,
ny – объем второй выборки,
– среднее арифметическое 1 группы,
– среднее арифметическое 2 группы.
– ошибка репрезентативности I группы,
. – ошибка репрезентативности 2 группы.
– критерий Стьюдента, по найденному значению которого определяют доверительную вероятность различия групп.
II. Сравнение двух малых групп с попарно-независимыми вариантами проводится по формулам:
где обозначения букв те же, что и в первом случае.
III. Сравнение двух малых групп с попарно-зависимыми вариантами:
или
Если разность xi и уi; обозначить через z, а разность и – через т.е
то формула (5) упростится и примет вид:
Пример:
По числу подтягиваний две группы показали следующие результаты:
= 10,0 nx = 35 =±1,3
= 14,5 ny= 40 =±1,5
Определить достоверность различия этих групп по средним арифметическим.
Решение:
Задача на первый случай, так как группы по объему большие и варианты попарно-независимы. Следовательно, решать нужно по формулам:
,
По таблице t-критериев Стьюдента определим доверительную вероятность: 0,95<β<0,99. Итак, различие не случайно. Оно достоверно по l порогу доверительной вероятности.
Пример:
Результаты лыжных гонок на 15 км (в мин):
= 53,2 ± 2,7 nx = 29
= 48,7 ± 1,8 ny= 43
Решение:
Задача на I случай, так как одна группа большая, вторая — малая, варианты попарно-независимы. Тогда, по формулам (1) и (2) получим:
Вывод: т.к. t расч.= 1,4 < tтабл.= 1,98 при β = 95 % из таблицы t-критериев Стьюдента, то можно говорить о недостоверности различия выборок уже по 1 порогу доверительной вероятности.
ПРИМЕР:
Результаты бега на коньках у мужчин на 500 м (с):
= 44,2 nx = 25,
= 47,0 ± 1,2 ny= 20.
Найти оценку достоверности различия этих групп.
Решение:
Определим, на какой случаи эта задача и выберем соответствующие формулы.
Задача на второй случай, так как обе группы малы и варианты попарно-независимы. Следовательно, решать нужно по формулам:
Для этого нужно определить и из формул:
и ,
;
.
Аналогично:
Тогда:
Вывод: т.к. tрасч = 1,9 < tтабл = 2,02 при β = 95 % из таблицы t-критериев Стьюдента, то можно говорить о недостоверности различия выборок уже по 1-му порогу доверительной вероятности.
Контрольные вопросы:
1. Цель применения метода Стьюдента.
2. Доверительная вероятность и уровень значимости по Стьюденту, их пороги.
3. Какие выборки называются попарно-зависимыми?
4. Какие выборки называются попарно-независимыми?
Практическое заняие – 3 (2ч)
Тема: Определение доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности по Стьюденту
Цель: научиться определять доверительный интервал (интервал, связанный с уверенностью , что рассматриваемая величина не выйдет за его пределы) для среднего значения генеральной совокупности.
Пример:
Определить доверительный интервал пульса покоя за 15 с с уверенностью =95% у группы студентов, если данные выборки таковы:
, уд. ~ 14, 16, 17, 17, 16, 17, 17, 16,18, 17 (n=10).
Решение:
1. Доверительный интервал по Стьюденту имеет вид :
(1)
где: — среднее значение генеральной совокупности;
— ошибка среднего арифметического, вычисляемая
по формуле: (2)
где: t — число Стьюдента из таблицы;
— уровень доверительной вероятности.
2. Заносим результаты тестирования в рабочую таблицу:
14 16
17
17
16
17
17
16
18
17 -2
0
1
1
0
1
1
0
2
1 4
0
1
1
0
1
1
0
4
1
3. Вычислим значения стандартного отклонения и ошибки средней арифметической:
4. Число степеней свободы k в данном случае вычисляем по формуле:
k=n.
Вывод: с уверенностью = 95% можно утверждать, что среднее значение генеральной совокупности показателя пульса покоя за 15 с не вышло бы за пределы от 15 до 17 ударов.
Чем больше уверенность ( ), тем шире интервал распределения величин.
Ход работы
ЗАДАЧА .
Определить доверительный интервал пульса покоя за 1 мин с уверенностью =95% у студентов группы, если данные выборки таковы:
xi, уд. ~
Решение:
1. Доверительный интервал по Стьюденту имеет вид :
2. Занести результаты тестирования в рабочую таблицу и произвести необходимые расчеты:
=
=
2. Число степеней свободы k =
Тогда при k = и
Отсюда
Практическое занятие – 4 (2ч)
Тема: Сравнение групп методом Стьюдента
Цель: научиться выявлять достоверность различия между данными двух выборок одной и той же генеральной совокупности.
Теоретические сведения
Метод Стьюдента применяется для сравнения двух выборок, взятых из одной и той же генеральной совокупности, или двух различных состояний одной и той же выборочной совокупности.
При этом могут представиться следующие случаи:
1. По объему:
а) обе группы большие (n>30);
б) обе группы малые ;
в) одна — большая, вторая — малая.
2. По составу:
а) группы с попарно-зависимыми вариантами, когда i-тая варианта первой группы сравнивается с i-той вариантой второй группы ;
б) группы с попарно-независимыми вариантами (можно менять варианты местами внутри группы).
Исходя из таких условий задачи могут быть трех типов:
I. Сравнение двух больших (или одной большой, одной малой) групп с попарно-независимыми вариантами проводится по формулам:
(1),
(2),
где: k — число степеней свободы,
— объем первой выборки,
— объем второй выборки,
— среднее арифметическое 1 группы,
— среднее арифметическое 2 группы,
— ошибка репрезентативности 1 группы,
— ошибка репрезентативности 2 группы.
— критерий Стьюдента, по найденному значению которого определяют доверительную вероятность различия групп.
II. Сравнение двух малых групп с попарно-независимыми вариантами проводится по формулам:
(3)
где обозначения букв те же, что и в первом случае.
III. Сравнение двух малых групп с попарно-зависимыми вариантами
(4)
или
, (5)
. (6)
Если разность и обозначить через , а разность , т.е
то формула (5) упростится и примет вид:
. (7)
Пример 7.1.
По числу подтягиваний две группы показали следующие результаты:
= 10,0 = 35 = ±1,3
= 14,5 = 40 = ±1,5
Определить достоверность различия этих групп по средним арифметическим.
Решение:
Задача на первый случай, так как группы по объему большие и варианты попарно-независимы. Следовательно, решать нужно по формулам:
,
.
,
k = 35 + 40 - 2 = 73.
По таблице t-критиериев Стьюдента определим доверительную вероятность: 0,95< b <0,99. Итак, различие не случайно. Оно достоверно по I порогу доверительной вероятности.
Пример 7.2.
Результаты лыжных гонок на 15 км (в мин):
Решение:
Задача на I случай, так как одна группа большая, вторая — малая, варианты попарно-независимы. Тогда, по формулам (1) и (2) получим:
,
k = 29 + 43 - 2 = 70.
Вывод: т.к. из таблицы t-критериев Стьюдента, то можно говорить о недостоверности различия выборок уже по I порогу доверительной вероятности.
Пример 7.3.
Результаты бега на коньках у мужчин на 500 м (с):
Найти оценку достоверности различия этих групп.
Решение:
Определим, на какой случай эта задача и выберем соответствующие формулы.
Задача на II случай, так как обе группы малы и варианты попарно-независимы. Следовательно, решать нужно по формулам :
,
.
Для этого нужно определить из формул:
,
.
Аналогично
Тогда:
k = 25+20-2=43.
Вывод: из таблицы t-критериев Стьюдента, то можно говорить о недостоверности различия выборок уже по I порогу доверительной вероятности.
Замечание.
Если задача на II случай, то данные выборки следует записывать в рабочую таблицу следующего вида:
Найденные суммы подставляют в соответствующие формулы:
.
Приведенная рабочая форма применяется и в I случае, если выборки даны своими вариантами, а , , и — неизвестны.
Пример 7.4.
До начала и после подготовительного этапа тренировочного цикла в команде баскетболистов фиксировалась результативность выполнения бросков в %. Определить значимость различных состояний команды.
Решение:
Задача на третий случай, так как сравниваются два различных состояния одной и той же выборки. Решать следует по формулам (5), (6) или (5), (7).
Данные занесем в рабочую таблицу вида:
По таблице t-критериев определим, что различие достоверно (причем, ) по II порогу доверительной вероятности.
Команда баскетболистов в результате проведенного цикла тренировок показала результаты значительно выше прежних.
Значимость определяется по формуле: