Недавно подходили ко мне с просьбой перекинуть контакты с одного (разбитого) смартфона на новый.

Это не сложно скажу я Вам, просто надо запастись терпением и нужно немного понимания того, куда нужно тыкать. Есть несколько вариантов перекинуть информацию с одного смартфона на другой, при условии что оба работают на Android.
1. При покупке смартфона вы обязательно регистрируете учетку в Google. Все контакты и история скачанных Вами приложений хранится в "облаке" (на серверах Google). И при смене смартфона вы просто вбиваете свою уже созданную учетку и выполняете синхронизацию. Смотрите в Контакты и все номера уже в Вашем новом смартфоне.
Но смоим клиентом вышло все иначе - смартфон они покупали с рук и долгое время пользовались учетной записью бывшего хозяина соответственно все контакты перекидывались в его "облако". Пароля к этой учетке естественно никто не знает, да и хозяина не найти. Можно бы было вбить в смартфон свои учетные данные, выполнить синхронизацию и поступить как описано в пункте 1......НО..... Дисплей разбит вдребезги и сенсор не работает, в таком случае можно воспользоваться вторым вариантом.
2. У каждого производителя смартфонов есть свои программы с примочками, которыми можно вытащить всю интересующую Вас информацию через компьютер. В нашем случае мне в руки попал Samsung. У них есть очень удобная программка Samsung Kies. Устанавливаем ее на компьютер, подключаем по usb смартфон, выделяем все что нужно, сохраняем. (на некоторых моделях может потребоваться отладка по USB для корректной работы, эта штука есть в каждом смартфоне в средствах разработчика) Затем подключаем новый телефон и на этом этапе вы сами вправе решить каким образом закинуть информацию в него: можно с помощью программы, можно с помощью проводника закинуть сохраненные файлы на смартфон/флэшку и открыть их......Контакты импортируются сами.
ну и еще один способ расскажу - можете позвонить мне и я заменю Вам разбитый дисплей на новый недорого. 903-535-58-83