Родился 27 сентября (10 октября) 1911 года в селе Степановка ныне Краснокутского района Харьковской области (Украина) в бедной крестьянской семье.  Украинец.  Окончил среднюю школу в селе Сытники.  Впоследствии работал секретарём сельсовета депутатов трудящихся. Одним из первых вместе с отцом и матерью комсомолец Бабаченко вступил в колхоз, работал в полеводческой бригаде. В 1933—1935 годах проходил действительную службу в рядах Красной Армии. После демобилизации окончил трёхгодичную школу по подготовке специалистов сельского хозяйства в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) и был назначен директором овощеводческого совхоза. В 1938 году вторично призван в ряды Красной Армии.  Участник советско-финляндской войны 1939—1940 годов. В 1940 году стал членом ВКП(б). Начальник разведки артиллерийского дивизиона 323-го артиллерийского полка (123-я стрелковая дивизия, 7-я армия, Северо-Западный фронт) кандидат в члены ВКП(б) младший лейтенант Фёдор Бабаченко 20 февраля 1940 года, находясь в разведке в районе высоты Безымянная, обнаружил три огневые точки и траншеи с солдатами противника.  Вместе с другими разведчиками молодой лейтенант незаметно приблизился к расположению противника и, не давая ему опомниться, с криком «ура!» забросал траншею гранатами.  В рукопашной схватке Фёдор Бабаченко заколол штыком вражеского офицера. Высота Безымянная была взята без потерь с нашей стороны. 10 марта 1940 года во время разведки в районе станции «Тали» под городом Выборгом (ныне — Ленинградской области) Фёдор Бабаченко обнаружил три вражеских земляных укрепления с пулемётными точками и пушками. Внезапной атакой группа разведчиков во главе с ним обратила в бегство противника, захватила укрепления, и младший лейтенант начал по рации корректировать огонь нашей артиллерии.  Так были заняты высоты «Подошва» и «Пирти», захвачены значительные трофеи. 11 марта 1940 года младший лейтенант Фёдор Бабаченко доставил ценные разведывательные данные в штаб полка. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 11 апреля 1940 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с финской белогвардейщиной и проявленные при этом отвагу и геройство» младшему лейтенанту Бабаченко Фёдору Захаровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 354). После окончания войны с белофиннами Ф. 3. Бабаченко был слушателем Военно-политической академии имени В. И. Ленина. Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года.  В 1943 году окончил курсы усовершенствования офицерского состава.  Майор Ф. З. Бабаченко командовал 104-м армейским истребительно-противотанковым артиллерийским полком.  Попал в плен 31 октября 1943 года.  Находился в Шталаге I В, который располагался в Хохенштайн (Hohenstein), Восточная Пруссия.  22 мая 1944 года был переведён в Шталаг XI А, который располагался в Альтенграбов (Altengrabow). Дальнейшая судьба Героя неизвестна. Медаль «Золотая Звезда» Героя Советского Союза Орден Ленина Медали