Тройка, шестерка, девятка (продолжение)

Давайте немного отойдем в сторону от главной темы и рассмотрим некоторые интересные качества числа 153.
Любопытные свойства числа 153
Ниже приведена сумма кубов наименьших чисел, которая равна 153:
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
Это число равно сумме факториалов чисел от 1 до 5:
153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!
Сумма чисел, входящих в 153, представляет собой квадратное число или квадрат простого числа:
1 + 5 + 3 = 9 = 3^2
Сумма кратных делителей числа 153, также представляет собой квадратное число или квадрат простого числа:
1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9^2
Кратными делителями какого-либо числа являются все делители этого числа, за исключением самого этого числа, но с учетом 1.
Так, сумма кратных делителей числа 153 равна квадрату суммы его чисел:
1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 1 + 5 + 3 = 9
Прибавив число 153 к числу, ему зеркальному, получим число 504:
153 + 351 = 504
А это число, возведенное в квадрат, представляет собой наименьший квадрат, равный произведению двух зеркальных, неквадратных чисел:
504^2 = 288 x 882
Это произведение можно также представить в виде суммы всех целых чисел от 1 до 17.
Другими словами, число 153 — это 17-цатое треугольное число. Поскольку зеркальное к числу 153 число 351 также является треугольным, то число 153 можно назвать обратимым треугольным числом.
Число 153 является также числом харшад (его еще называют числом Нивена), т.е. оно делится на сумму чисел, его составляющих:
153 / (1 + 5 + 3) = 17
Поскольку зеркальное к числу 153, т.е. число 351, также является числом харшад, то число 153 можно назвать обратимым числом харшад.
Его можно представить в виде произведения двух чисел, образованных из чисел, в него входящих:
153 = 3 * 51
Обратите внимание на то, что числа, входящие в множители в правой части, те же, что и цифры, образующие само число 153.
Число 135, которое образовано перестановкой чисел, входящих в число 153, можно выразить следующим образом:
135 = 1^1 + 3^2 + 5^3
Сумма всех делителей числа 153 равна 234:
1 + 3 + 9 + 17 + 51 + 153 = 234
Произведение кратных делителей числа 153 равна 23409:
1 * 3 * 9 * 17 * 51 = 23409
Обратите внимание на то, что в выше приведенное число входят и сумма всех делителей числа 153, которая равна 234, и квадрат суммы кратных делителей числа 153, равный 09.
Когда складываются кубы чисел, образующих какое-либо число, кратное 3, а затем та же операция производится с полученным числом необходимое количество раз, то конечный результат будет равен 153.
Например. Возьмем число 108.
1^3 + 0^3 + 8^3 = 513 и 5^3 + 1^3 + 3^3 = 153
Т.е. число 108 переходит в 153 за два этапа, что можно представить следующим образом:
108→513→153
Исследования по всем числам, не превышающем число 10^5, показывают, что все числа, кратные 3, переходят в число 153 (после повторения процесса суммирования кубов входящих в это число цифр) максимум за 14 этапов. Однако, необходимо максимум 13 этапов для всех чисел, кратных 3 и меньших 10 000. Наименьшим числом, которому необходимо 13 этапов для перехода в 153, является число 177:
177→ 687→ 1071→345→ 216→ 225→ 141→ 66→ 432→ 99→ 1458→ 702→ 351→ 153