Немного из истории.

Изначально на Руси термин "дворняга" не обозначал наличие или отсутствия породу у животного. Дворняжка - суффиксальное производное от дворняга, образованного посредством суффикса "-ага-" от дворная (дворная собак). Дворняжка буквально — "собака, охраняющая двор".
Таким образом дворнягами называли и породистых собак охранявших двор. Критерием было только проживание вне дома.
Использовать термин для обозначения отсутствия породу у собаки люди стали уже позже, очевидно причиной послужило распространённость беспородных собак в качестве охранников.