Рубен Артёмович Варшамов родился 24 февраля 1936 года в Москве, на Чистых Прудах.

Варшамов всегда любил рисовать. Школьные тетрадки Рубен заполнял с двух сторон: на первом листе — задача по математике, на последнем — рыцари, фрегаты, остров Сокровищ.
В 1955 году Варшамов поступил в Московский полиграфический институт по специальности «художественно-техническое оформление печатной продукции».
Книги для детей с иллюстрациями Варшамова начали выходить в издательстве «Детская литература»: Ильин, Б. Биография великой волшебницы (1964); Балл, Г. Жук — Кривая горка (1968); Садовский, М. Что снится слону? (1969); Садовский, М. Что снится льву? (1969). А московский «Малыш» выпустил книжки-раскраски («В стране сказок», «Какого цвета звери», «Сказка-раскраска» — все вышли в 1968 году) и замечательный сборник русских народных песенок и потешек «Ерши малыши» (1970) с яркими многоцветными иллюстрациями.
В этот период Р. А. Варшамов начал формироваться как художник-анималист.
Важнейшим этапом творческой биографии Р. А. Варшамова стали годы (1977–2000), когда он возглавлял самый популярный (наравне с «Мурзилкой») детский журнал страны — «Весёлые картинки».
Благодаря Р. А. Варшамову «Весёлые картинки» существуют до сих пор. Когда в 1992 году издательство «Молодая гвардия» отказалось от всех своих журналов, Варшамов сохранил коллектив редакции и разработал стратегию работы в изменившихся условиях. Был учреждён Издательский дом «Весёлые картинки». Появилось издательство «Карандаш», выпустившее, в частности, книги-игры, придуманные и нарисованные Варшамовым: Исторические приключения Весёлых человечков (1995), Приключения Весёлых человечков с бароном Мюнхаузеном (1995). Стали выходить новые журналы: «Весёлые картинки для взрослых» (1996–1998); познавательный журнал для детей «Филя» (1997–); литературно-художественный журнал для подростков «Пампасы» (1998–2001); журнал для детей о путешествиях и путешественниках «Синдбад» (1999–2007); журнал для детей об искусстве «Эскиз» (2000–). Идеи, сформулированные Р. А. Варшамовым, мастером спорта СССР по парусному спорту (1969), капитаном яхты крейсерского класса (1985), развивал детский журнал «Трамплин» (2002–2006).
Рубен Артёмович Варшамов умер в Москве 13 мая 2000 года. Похоронен на Митинском кладбище.