Многомерное пространство может быть математическим либо физическим.

Математические описываются линейными векторными пространствами на основе операций сложения и умножения вектора на скаляр. Если пространство имеет характер евклидового, то вводится скалярное произведение двух векторов. Это пространство может иметь любую размерность, конкретно определяемую натуральным рядом чисел, вплоть до бесконечномерных пространств.
Что касается физических пространств, то там задействовано меньше физических пространственных размерностей. В физике используется трехмерная векторная алгебра, имеющая кроме 8 линейных операций скалярное произведение евклидового характера и векторное произведение двух векторов, найденное Гамильтоном, включающее векторное произведение трёхмерных векторов, т.е. 6 характерных действительных величин для значения векторного произведения двух векторов.
В 60-е гг. ХХ в. возникла задача описания элементарных частиц, которых оказалось столь много, что потребовалось давать их классификацию, подобную таблице Менделеева. https://ok.me/JtSX