Вопрос: в какую сторону должна открываться дверь парной?

Ответ: Дверь должна открываться только наружу! В случае каких-то неприятных ситуаций человек должен иметь возможность открыть дверь хотя бы просто навалившись на нее.
Кроме таких экстремальных ситуаций для этого есть и другие причины.
Во-первых, дверь внутрь уменьшает площадь парной, особенно если парятся несколько человек, которые периодически входят и выходят из помещения.
Во-вторых, если дверь по каким-либо причинам заклинит, то ее проще вытолкнуть наружу, чем вытаскивать на себя.
В-третьих, проще толкать и в том случае, когда парная перегрета и за ручку браться горячо.
А кроме того, открыванию двери внутрь может мешать деревянная решетка на полу.