Стоит ли опасаться снижения рождаемости в мире и может ли это привести к вымиранию человечества?

Краткий ответ: нет.
Не слушайте шарлатанов — политиков и религиозных фанатиков — ах, мы вымираем, ах, только религия сможет спасти нас от исчезновения. Пост и молитва, домострой, плодитесь и размножайтесь. На самом деле религиозный экстремизм, фанатизм и склонность к социальному паразитизму, гораздо более опасны для социума, чем сокращение коэффициента фертильности.
У сокращения рождаемости есть множество плюсов: меньшая нагрузка на экосистему, меньше вырубки лесов, загрязнения рек, выбросов CO₂. Гораздо проще решаются проблемы нехватки жилья. Меньше войн, меньше конкуренции за ресурсы. Меньше скученности, пробок, очередей, перенаселенных мегаполисов. А развитие технологий позволяет работать в любой точке мира. Если становится меньше людей, то ценность каждого из них резко повышается и есть смысл серьезно вкладываться и в образование и в медицину.
С большой долей вероятности численность населения Земли достигнув максимума и опустившись после этого немного вниз, стабилизируется на каком-то уровне. Падение рождаемости — это сложный демографический сдвиг, обусловленный развитием общества (образование, урбанизация, права женщин, доступ к контрацепции). У человечества есть время (сотни лет), технологии и адаптивные механизмы для решения демографических проблем без риска исчезновения как вида. Просто представьте себе мир, где меньшее, но более здоровое и образованное население гармонично развивается благодаря новым технологиям