Родился в сентябре 1918 года в селе Казанское ныне Ливенского района Орловской области в крестьянской семье. Русский. Окончил среднюю школу. Работал в колхозе. В 1939 году переехал в Приморский край. Работал в леспромхозе.    В Красной Армии с января 1942 года. В действующей армии с 30 апреля 1942 года. Воевал на Брянском фронте в составе 104-й отдельной стрелковой бригады. Был направлен на курсы младших лейтенантов, после окончания которых был назначен командиром взвода в 615-й стрелковый полк 167-й стрелковой дивизии. Воевал на Брянском и Воронежском (с 20 октября 1943 года – 1-й Украинский) фронтах. Принимал участие в Воронежско-Касторненской наступательной, Харьковских наступательной и оборонительной операциях, Белгородско-Харьковской наступательной операции, освобождении Левобережной Украины. В боях дважды был ранен.    Особо отличился при форсировании реки Днепр и в боях на плацдарме. Рота А.Е. Бахтина в числе первых форсировала реку. В боях на лютежском плацдарме в октябре-начале ноября 1943 года А.Е. Бахтин уверенно управлял ротой, смело маневрируя подразделениями и огневыми средствами, отразил все контратаки противника и удержал занимаемую позицию. Был ранен, но продолжал управлять боем.    Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство старшему лейтенанту Бахтину Александру Егоровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».    В дальнейшем принимал участие в Киевских наступательной и оборонительной операциях, Житомирско-Бердичевской, Корсунь-Шевченковской и Проскуровско-Черновицкой наступательных операциях.    Старший лейтенант А.Е. Бахтин погиб в бою 9 апреля 1944 года.    Первоначально был похоронен в братской могиле в деревне Косов Тарнопольской (с августа 1944 года – Тернопольской) области Украинской ССР. Перезахоронен в селе Белобожница Чортковского района Тернопольской области Украины.     Награжден орденами Ленина (10.01.1944), Красного Знамени (13.01.1944), Отечественной войны 2-й степени (18.05.1944, посмертно), Красной Звезды (27.07.1943), медалью «За боевые заслуги» (29.06.1942).