Простой вопрос: какие права имеет отчим по отношению к ребенку?

Простой ответ: никаких.
В Семейном кодексе РФ есть глава 12 которая говорит о " Правах и обязанностях родителей". Ключевое слово: родитель.
Отчим не является родителем и прав участвовать в воспитании не имеет.
В случае, если отчим усыновит ребенка, его права и обязанности приравниваются к правам и обязанностям родственникам по происхождению.
Однако, алиментные обязательства родного отца прекращаются (ст.120 СК РФ).