В армии с декабря 1937 года. В ноябре 1939 года окончил Ворошиловградскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в ВВС лётчиком 160-го резервного авиационного полка. С октября 1940 – лётчик 211-го ближнебомбардировочного авиационного полка. Воевал на Южном и Юго-Западном фронтах. Участвовал в оборонительных боях в Молдавии и на Украине. Совершил несколько боевых вылетов на бомбардировщике Су-2. С октября 1941 года переучился на одноместный штурмовик Ил-2.
12 июня 1942 года в районе города Барвенково его одноместный Ил-2 был сбит. При вынужденной посадке получил черепно-мозговую травму и контузию спинного мозга. До июля 1942 года находился на излечении в госпитале.
С августа 1942 года М.Т. Степанищев снова в строю. Участвовал в Сталинградской битве. В феврале 1943 – марте 1945 – командир звена, заместитель командира авиаэскадрильи и командир авиаэскадрильи, штурман 225-го (с марта 1943 года – 76-го гвардейского) штурмового авиационного полка.
При выполнении штурмовки 4 июня 1943 года на его самолёте было перебито управление рулём поворота, но лётчик сумел привести Ил-2 на аэродром и успешно приземлить его. В ноябре 1943 года группа из 6 самолётов Ил-2, возглавляемая М.Т. Степанищевым, в районе посёлка Верхний Рогачик уничтожила 7 танков и 20 автомашин противника. В апреле 1944 года группа из 18 самолётов Ил-2 под его командованием в ходе штурмовки аэродрома противника в районе станции Джанкой (Крым) уничтожила 11 и повредила 15 бомбардировщиков. 20 июля 1944 года при штурмовке боевых порядков противника в районе города Мариямполе (Литва) точными бомбовыми ударами М.Т. Степанищев уничтожил танк и штурмовое орудие противника. 1 августа 1944 года при штурмовке войск противника в районе города Кибартай (Литва) его группа была атакована истребителями противника. Ведущий умело построил оборонительный круг и продолжал выполнять задание. В результате удара было уничтожено 4 автомашины с грузом и 3 артиллерийских орудия.
За образцовое выполнение боевых заданий Командования на фронте борьбы с германским фашизмом и проявленные при этом отвагу и геройство Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1944 года гвардии майору Степанищеву Михаилу Тимофеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С марта 1945 – заместитель командира 76-го гвардейского штурмового авиационного полка. 7 апреля 1945 года четырежды водил группу штурмовиков на уничтожение живой силы и артиллерии противника под Кёнигсбергом (ныне Калининград). При уничтожении окружённой группировки противника юго-западнее Кёнигсберга он выполнял по 3–4 боевых вылета в день. За образцовое выполнение боевых заданий Командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года гвардии майор Степанищев Михаил Тимофеевич награждён второй медалью «Золотая Звезда». За время войны совершил около 244 боевых вылетов (234 – на штурмовике Ил-2 и около 10 – на бомбардировщике Су-2).
После войны продолжал службу в ВВС заместителем командира, а с июня 1946 года – штурманом 76-го гвардейского штурмового авиационного полка (в Белорусском военном округе). Погиб 8 сентября 1946 года. Похоронен в городе Барановичи Брестской области (Беларусь).