Г.Ф. Сивков родился 10 февраля 1921 года в деревне Мартыново, Пермской области, в семье крестьянина. Окончил авиационный техникум. С 1939 года в Красной Армии. В 1940 году окончил Пермскую военную авиационную школу лётчиков.
Свой первый боевой вылет на бомбардировщике СБ Григорий Сивков совершил под Новый год 28 декабря 1941 года. 210-й ближнебомбардировочный полк совершал по три-четыре вылета в день. Бомбили скопления вражеской техники на железнодорожных станциях, артиллерийские позиции, колонны боевых машин на подходе к линии фронта.
В апреле–мае 1942 года летчики переучились на новый тип самолета – Ил-2. Обстановка на фронте резко обострилась. Гитлеровцы начали крупное наступление на харьковском направлении, в воздухе разгорелись ожесточенные схватки. 210-й штурмовой авиационный полк наносил удары по наземным целям. С первых вылетов на «Иле» Г.Ф. Сивков почувствовал значительное преимущество перед прежним самолетом: Ил-2 был вооружен двумя пушками, восемью реактивными снарядами, двумя пулеметами. Кроме того, экипаж мог взять до 400 килограммов бомб.
С декабря 1941 по май 1942 г. Г. Ф. Сивков служил лётчиком 210-го ближнебомбардировочного авиационного полка, с мая 1942 по май 1945 г. – командиром звена, заместителем командира и командиром авиаэскадрильи, штурманом 210-го штурмового авиационного полка 17-й Воздушной Армии.

Полк воевал на Южном, Северо-Кавказском, Закавказском и 3-м Украинском фронтах. Участвовал в оборонительных боях в Донбассе, битве за Кавказ, освобождении Кубани и Крыма, Ясско-Кишинёвской операции, освобождении Румынии, Болгарии и Югославии, в Будапештской и Венской операциях.

На Кубани полк участвовал в прорыве немецкой Голубой линии. По нескольку раз в день летчики большими группами вылетали на штурмовку под прикрытием истребителей. 17 сентября 1943 года комэск Г.Ф. Сивков вел четверку самолетов в сторону Керченского пролива. На высоте прошли над линией фронта, вышли на цель – вражеские эшелоны на железнодорожной станции. Ведущий Сивков зашел на цель первым, высыпал весь запас бомб, вторым заходом выпустил по эшелону «эрэсы». Немецкие зенитки весь огонь сосредоточили по ведущему. Попали в мотор. Григорий Сивков понял: у него осталось не более пяти минут... Вышел из боя, но пошел не на восток к своим – все равно не дотянешь, а на север, в сторону Кубани, где в плавнях, в высоком тростнике можно укрыться от немцев. За командиром шли два штурмовика – Николай Калинин и Саша Марков.

Григорий Сивков сел «на брюхо», сделав коридор в тростнике. Рядом сел Калинин, а самолет Маркова оставался в небе для прикрытия своих с воздуха. Марков увидел, как в сторону самолетов вдоль реки мчится автомобиль с немецкими автоматчиками. Огнем из пулемета пилот отсек машину. В это время Сивков перешел в кабину штурмовика Калинина, и они взлетели, успев поджечь оставленный поврежденный самолет.

За подвиг и мужество Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года Григорию Сивкову и Николаю Калинину присвоено звание Героя Советского Союза.

За время войны Г.Ф. Сивков совершил 247 боевых вылетов.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1945 г. штурман 210-го штурмового авиационного полка майор Г. Ф. Сивков награждён второй медалью «Золотая Звезда».

После войны Григорий Флегонтович окончил Военно-воздушную инженерную академию имени Жуковского (1952), был преподавателем, старшим преподавателем, 13 лет возглавлял кафедру. Затем продолжал работать в академии старшим научным сотрудником. Кандидат технических наук Г.Ф. Сивков – автор 70 научных работ, в соавторстве опубликовал 4 учебника.

Умер Г.Ф. Сивков 20 ноября 2009 г., похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.